Рабочая программа элективного курса для 11 класса по теме Удивительный мир производной!

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Лицей»

г. Протвино Московской области

«РАССМОТРЕНО»

Руководитель научно-методической кафедры

____________/Володина Г.В./

ФИО

Протокол № ___

от «__»__________20___г.

«СОГЛАСОВАНО»

Заместитель руководителя по УМР МБОУ «Лицей»

_____________/Лебедева Е.В./

ФИО

«__»___________20 ___г.

«УТВЕРЖДАЮ»

Директор

МБОУ «Лицей»

_____________/ Кащеева Т.М./

ФИО

Приказ № ___

от «__»__________20 ___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

элективного курса

«Удивительный мир производной»

для обучающихся 11 класса

Составитель: Довлатбегян В.А.,

учитель высшей категории

2014 - 2015 учебный год

Пояснительная записка

Предел, производная… Зачем их изучать? Сегодня главное в образовании - развитие, формирование общей культуры человека, способного, в частности, самостоятельно добывать и перерабатывать информацию. Одной из основных целей математического образования должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира. Значит, нужно научить школьников составлять математические модели реальных ситуаций, а для этого они должны владеть математическим языком, описывающим указанные модели. Для математического исследования явлений реального мира особенно важны понятия предела и производной, ведь это - основные понятия языка, на котором «говорит природа».

Согласно «Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования» особая роль при организации профильного обучения отводится элективным курсам, которые связаны с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Их введение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса, при котором существенно расширяются возможности построения учащимися индивидуальных образовательных программ, поскольку элективные курсы в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов.

Элективный курс «Удивительный мир производной» рассчитан на учащихся 11 классов (профильных или математических). Он связан с основным курсом математики, развивает систему ранее приобретенных программных знаний, углубляет и расширяет курс математики основной школы.

Производная - важнейшая математическая модель, одно из фундаментальных понятий математического анализа, дающее возможность введения нового метода решения задач и исследования вообще и показывающее прикладное значение математики. Изучение производных позволяет установить межпредметные связи и проиллюстрировать объединительный характер математики и ее аппаратную роль, не только вне, но и внутри математики, позволяет систематизировать функциональные знания. Применение производной позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности, требует от учащихся нетрадиционного мышления. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельности (вычислительная техника, экономика, физика, химия и т.д.) Здесь приходится подбирать метод решения задачи, проверять условия его применимости, анализировать полученные результаты. По существу, зачастую проводится небольшое математическое исследование, в процессе которого развиваются логическое мышление, математические способности, повышается математическая культура.

Для многих задач элементарной математики допускается как «элементарное», так и «неэлементарное» решение. Применение производной дает, как правило, более эффективное решение. Появляется возможность оценить силу, красоту, общность нового математического аппарата.

Практика последних лет говорит о необходимости формирования умений применения производной в связи с включением их в ЕГЭ.

Данный курс рассчитан на 17 часов. Предлагается для учащихся физико-математического профиля.

Цели курса:

1) Познакомить учащихся с широтой применения понятия «производная функции».

2) Учить применять производную для решения прикладных задач

3) Обеспечить учащимся условия для успешной поисково - исследовательской деятельности.

Задачи курса:

1. Развивать умение мыслить нетрадиционно.

2. Обучать умению проводить математическое исследование.

3. Показать красоту математических выкладок и рассуждений.

4. Показать несколько примеров приложения методов математического анализа для решения широкого класса экономических задач.

Изучение данного курса дает учащимся возможность:

• повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики;

• освоить основные приемы решения задач;

• овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;

• познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;

• решать задания, по типу приближенных к заданиям ЕГЭ;

• повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;

• познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов;

• точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;

• распознавать задачи, которые более эффективно решаются с помощью производной;

• не бояться применять этот математический аппарат при решении уравнений и неравенств и других прикладных задачах.

Содержание курса

Тема 1. Введение. Историческая справка.(1 час)

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г. Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

Тема 2. Функции одной переменной. Понятие о пределе функции на бесконечности. (1 час)

Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах. Предел функции в бесконечности.

Тема 3. Первый и второй замечательные пределы. Поведение функции на бесконечности. Асимптоты. Сравнение бесконечно малых. (1 час)

Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Основные приемы раскрытия неопределенностей.

Тема 4. Односторонние пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва.(1 час)

Непрерывность функции в точке и на множестве. Точки разрыва и их классификации. Свойства непрерывной функции. Метод интервалов. Асимптоты графика функции.

Тема 5. Производная функции. Формулы производных элементарных функций. (1 час)

Производная. Нахождение производных по определению. Таблица производных .

Тема 6. Правила дифференцирования Производная сложной функции. Производная обратной функции. Вторая производная.(1 час)

Дифференцируемость функции и непрерывность. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Дифференцирование тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций.

Тема 7. Физический и геометрический смысл производной. (1 час)

Физический и геометрический смысл производной, решение задач по теме.

Тема 8. Уравнение касательной к графику.(1 час)

Касательная к кривой, уравнение касательной, касательная плоскость к поверхности, уравнение плоскости.

Тема 9. Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

(2 часа)

Критические точки функции. Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное условие существования экстремума. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Тема 10. Использование производных при решении уравнений и неравенств, доказательстве неравенств. (2 часа)

Теорема Лагранжа и следствия из нее. Исследование производной при доказательстве и решении неравенств. Бином Ньютона, свойства биноминальных коэффициентов. Приложения бинома Ньютона для приближенного вычисления коэффициентов функций. Решение задач с применением производной, уравнений и неравенств.

Тема 11. Решение текстовых, физических и геометрических задач.(1 час)

Физический и геометрический смысл производной, нахождение скорости процесса.

Примеры использования производной для решения задач по планиметрии и стереометрии.

Тема 12. Нахождение наибольших и наименьших значений функций.(2 часа)

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке и на интервале, решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Тема 13. Решение экономических задач с использованием производной. (1 час)

Применение методов элементарной математики и производной к исследованию свойств функции и построению её графика. Решение экономических задач с применением производной.

Тематическое планирование материала

№

Тема занятий

Кол-во

часов

Дата проведения

Корректировка

1

Введение. Историческая справка

1

2

Функции одной переменной. Понятие о пределе функции в точке.

1

3

Первый и второй замечательные пределы. Поведение функции на бесконечности. Асимптоты. Сравнение бесконечно малых.

1

4

Односторонние пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва.

1

5

Производная функции. Формулы производных элементарных функций.

1

6

Правила дифференцирования Производная сложной функции. Производная обратной функции. Вторая производная.

1

7

Физический и геометрический смысл производной.

1

8

Уравнение касательной к графику.

1

9

Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

1

10

Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

1

11

Использование производных при решении уравнений и неравенств, доказательстве неравенств.

1

12

Использование производных при решении уравнений и неравенств, доказательстве неравенств.

1

13

Решение текстовых, физических и геометрических задач.

1

14

Нахождение наибольших и наименьших значений функций.

1

15

Нахождение наибольших и наименьших значений функций.

1

16

Решение экономических задач с использованием производной.

1

17

Игра «Восхождение на пик производной».

1

Дидактический материал

2-3 занятие

Пределы

Число а называется пределом последовательности если для всякого сколь угодно малого положительного числа найдётся такое положительное число N, что < при > . В этом случае пишут

Число А называется пределом функции при если для любого сколь угодно малого найдётся такое , что < при 0 < < Это записывают так:

Аналогично если < при < N.

Условно записывают если > M при 0 < < где

M - производительное положительное число.

В этом случае функция называется бесконечно большой при

Если то функция называется бесконечно малой при

Если и то употребляют запись если и - запись числа и называются соответственно левым и правым пределом функции в точке а.

Для существования предела функции при необходимо и достаточно, чтобы .

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.

Если существуют и , то

1) ;

2) ;

3) (при ).

Используются также следующие пределы:

(первый замечательный предел);

(второй замечательный предел).

Логарифм числа x по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается

При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:

, , .

Пример1

Найти следующий предел: .

Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при. В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида . Разделив х на числитель и знаменатель дроби, получаем

,

Так как при каждая из дробей и стремиться к нулю

Пример2

Найти следующий предел: .

Здесь числитель и знаменатель дроби при стремиться к нулю (неопределенность вида 0/0). Имеем

;

Если , то . Но при дробь стремиться к числу . Итак

Пример3

Найти следующий предел: .

Умножим числитель и знаменатель на сумму :

Пример4

Найти следующий предел: .

Используя первый замечательный предел, имеем:

Пример5

Найти следующий предел: .

Делением числителя дроби на знаменатель выделяем целую часть:

.

Таким образом при данная функция представляет собой степень, основание которой стремиться к единице, а показатель - к бесконечности (неопределенность вида ). Преобразуя данную функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел, получим:

Так как при , то

Учитывая, что , находим

Сравнение бесконечно малых

Пусть и - бесконечно малые при .

1. Если , то говорят, что является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с . В этом случае пишут.

2. Если , где - число, отличное от нуля, то говорят, что и - бесконечно малые одного и того же порядка. В частности, если , то бесконечно малые и называются эквивалентными. Запись означает, что и - эквивалентные бесконечно малые.

Если, то это означает, что. Таким образом, является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с , т. е..

3. Если и -бесконечно малые одного и того же порядка, причем k >0,то говорят, что. бесконечно малая имеет порядок по сравнению с .

Отметим некоторые свойства бесконечно малых:

1°. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями, т. е. если , то и .

2°. Бесконечно малые и эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с и , т. е. если , то .

3°. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой, т. е. если , , , то .

Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых: если , то

Пример1

Найти.

Заменим числитель и знаменатель дроби эквивалентными бесконечно малыми: . Тогда получим

4 занятие

Непрерывность функции

Функция называется непрерывной в точке а, если: 1) эта функция определена в некоторой окрестности точки а; 2) существует предел; 3) этот предел равен значению функции в точке а, т. е. .

Обозначая (приращение аргумента) и (приращение функции), условие непрерывности можно записать так: , т. е. функция непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области.

Точка а, принадлежащая области определения функции или являющаяся граничной для этой области, называется точкой разрыва, если в этой точке нарушается условие непрерывности функции.

Если существуют конечные пределы и

причем не все три числа , , равны между собой, то а называется точкой разрыва I рода.

Точки разрыва I рода подразделяются, в свою очередь, на точки устранимого разрыва (когда , т. е. когда левый и правый пределы функции в точке а равны между собой, но не равны значению функции в этой точке) и на точки скачка (когда , т. е. когда левый и правый пределы функции в точке а различны); в последнем случае разность называется скачком функции в точке а. Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода. В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов.

Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция не­прерывная во всех точках, где делитель не равен нулю.

Пример1

Найти левый и правый пределы функций при .

Если , то и . Следовательно .

Если же , то и . Следовательно .

Пример2

Найти левый и правый пределы функций при .

Если , то и

Если же , то и .

5 - 6 занятия

Производная.Таблица производных

Пример1

Найти производную функции:

.

Пример2

Найти производную функции:

Здесь основание и показатель степени зависят от х. Логарифмируя, получим Продифференцируем обе части этого неравенства по х. Так как y является функцией по х, то есть сложная функция от х и .

Следовательно

,

Т.е. .

Пример3

Найти производную функции:

Имеем , откуда

;

Пример4

Найти производную функции:

Здесь заданную функцию также следует предварительно прологарифмировать:

;

;

7 - 8 занятия

Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной.

1. Найти уравнение общих касательных к графикам функций

и

Решение. Возьмём на второй кривой точку . Уравнение касательной к кривой в этой точке будет . Заметим, что условие касания параболы и прямой есть равенство нулю дискриминанта квадратного уравнения . Получаем для t уравнение , откуда .

Ответ. Уравнение общих касательных имеют вид

и .

2. Найти уравнение касательной к графику функции , имеющей единственную общую точку с графиком этой функции.

Решение. Пусть искомая касательная касается заданной функции в точке с абсциссой , т.е. уравнение имеет вид:

.

Эта прямая пересекается с графиком функции в единственной точке, абсцисса которой равна (по условию). Значит , уравнение
имеет единственное решение . Перенесём всё в левую часть и разложим на множители, будем иметь:

.

Таким образом,

, .

Ответ. Уравнение искомой касательной имеет вид .

Замечание. Искомая касательная есть не что иное, как касательная, проходящая через точку перегиба. С точки зрения наглядно-графических представлений подобный результат достаточно очевиден.

Упражнения для самостоятельной работы:

1. 1) Напишите уравнение касательной к кривой с абсциссой.
   2) Напишите уравнение касательной к кривой в точке с ординатой .

2. Напишите уравнение касательной к кривой, проходящей параллельно прямой .

3. Напишите уравнения касательных к кривым, , проведенных через точки пересечения этих кривых.

4. Напишите уравнение касательных к кривой, проходящих через точку М (2; -5).

5. К параболе в точке М (х₀; у₀) проведена касательная. Найдите точку пересечения этой касательной с осью абсцисс. Опираясь на полученный результат, сформулируйте геометрическое правило построения касательной к параболе .

6. ООпределите понятие мгновенной угловой скорости вращения и дайте выражение этой скорости через производную.

7. Определите понятие силы переменного тока в данный момент времени и дайте выражение для него через производную.

8. Определите понятие линейной теплоемкости неоднородного стержня в данной точке и дайте ее выражение через производную.

9. 1) Определите понятие перепада температуры в данной точке неравномерно нагретого стержня и дайте выражение через производную.
   2) Придумайте еще два-три примера физических величин, выражающихся с помощью производной.

10. Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента t =0, выражается формулой q(t) = 3t²-2t. Выведите формулу для вычисления силы тока в любой момент времени t и вычислите силу тока в конце шестой секунды.

11. Тело, брошенное вертикально вверх с высоты с начальной скоростью , движется по закону . Найдите высоту тела в момент времени, когда скорость тела в 2 раза меньше первоначальной, если = 4 м, = 3м/с и м/с².

9-10 занятия

Построение графиков функций.

Примерный план исследования функций таков:

1. Находят область определения функции f.

2. Исследуют функцию на четность или нечетность.

1. Находят точки пересечения графика функции с осью абсцисс (для этого решают уравнение f(x) = 0).

3. Находят точки разрыва функции.

2. Точки, найденные в п. 3 и 4, разбивают ось абсцисс на несколько промежутков - это промежутки знакопостоянства функции f, находят знак функции на каждом из этих промежутков.

3. Изучают поведение функции около точек разрыва и на бесконечности и находят ее асимптоты.

7. Исследуют функцию на возрастание и убывание.

8. Находят точки максимума и минимума функции.

9. Исследуют график на выпуклость и находят точки перегиба.

10. Составляют таблицу значений функции и ее производных (в нее включают точки, найденные на предыдущих этапах исследования, и некоторые дополнительные контрольные точки, в частности точку пересечения графика с осью ординат, т. е. точку с абсциссой, равной нулю).

11. Учитывая проведенное исследование, строят эскиз графика функции.

Пример 1. Построим график функции x-4x+3x.

Решение. 1) Функция определена при всех значениях x, т. е.
D (f) = (-∞; +∞).

2) Так как f(-x)=(-x)-4(-x)+3(-x)=-x+4x-3x,то f(-x)≠f(x),
f(-x)≠-f(x), и потому функция f не является ни четной, ни нечетной.

3) Корнями уравнения х³-4х²+Зх=0 являются 0, 1, 3. Мы нашли три точки пересечения графика с осью абсцисс:

А(0;0), В(1;0), С (3;0).

4) f - всюду непрерывная функция. Найденные в п. 2 точки разбивают ось абсцисс на три промежутка знакопостоянства функции, причем знаки функции на этих промежутках меняются так, как показано на рисунке 1, а. На рисунке 2 схематически изображены те сведения, которыми мы располагаем после этапов 1) -4).

Рис 1 рис.2

Отмечены три найденные точки графика и заштрихованы те куски координатной плоскости, где графика заведомо нет. Из этого рисунка видно, что на промежутке (0;1) должна быть точка максимума, а на (1;3) - точка минимума.

5) Предел функции f при равен +∞.В самом деле, , причем и

Аналогично устанавливаем, что .

6) -7). Исследование функции на возрастание и убывание проведем одновременно с отысканием точек экстремума Имеем:

.

Уравнение имеет два корня:

.

Их приближенные значения таковы:. Из сказанного выше следует, что в точке функция имеет максимум, а в точке х₂ минимум ( а ). Вычисляя значения функции в этих точках, получаем, что и.

На луче имеем: , и потому функция возрастает; на отрезке имеем: , а потому функция f убывает на нем; наконец, на имеем: , и потому возрастает на этом луче.

8) Имеем: f" (х) = (3х²-8х + 3)'= 6х-8. Решая уравнение , получаем точку , «подозрительную на перегиб». При выполняется неравенство 6х - 8<0, а при - неравенство 6х - 8>0. Значит, при переходе через точку вторая производная меняет знак, и потому найденное значение дает точку перегиба. При этом слева от этой точки график функции обращен выпуклостью вверх, а справа от нее - выпуклостью вниз.

Значение f' (х) при х= равно Значит, в точке с абсциссой касательная имеет угловой коэффициент . При этом

9) составляем следующую таблицу:

10) Учитывая проведенное исследование, строим график
функции (рис. 3).

Рис 3

Пример 2. Построим график функции, где.

Решение. 1) Функция определена всюду, кроме точки. В этой точке функция имеет разрыв, причем

,

2) Так как,

то функция нечетна. Достаточно построить ее график на луче (0; +) и отразить его симметрично относительно начала координат.

3) Решая уравнение , находим корни 1 и -1. На луче (0; +) лежит корень 1.

4. Точка 1 разбивает луч (0; +) на промежутки (0; 1) и (1;+), функция положительна при х> 1 и отрицательна при 0<х:< 1.

5. Функцию можно записать в виде. Из этой записи видно, что при график функции почти сливается с прямой у=х и лежит ниже ее. Это наклонная асимптота данного графика.

6) Имеем:

Так как при х>0 выполнено неравенство f (x)>0, то функция возрастает на луче (0; +).

7) Имеем:

Так как при х>0 /"(х)<0, то график функции f обращен выпуклостью вверх на луче (0; +).

8. Учитывая проведенное исследование (см. таблицу ниже), строим график функции (рис. 4), его левая часть симметрична правой относительно начала координат.

Упражнения для самостоятельной работы

Постройте графики функций:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

11 ,12,13 занятия

Тема «Решение уравнений и неравенств с помощью производной»

Цель: Показать применение производной при решении уравнений и неравенств, при доказательстве неравенств; способствовать формированию познавательного интереса к математике, развитию творческих способностей учащихся; воспитание учащихся средствами предмета.

Ход занятия:

1. Организационный момент.

2. Вступительное слово

Выявление некоторых свойств функций, входящих в уравнение, например, свойства монотонности, ограниченности, существования наибольшего и наименьшего значений функций и т. д., существенно упрощается при применении производной. На этом занятии мы рассмотрим применение производной при решении уравнений и неравенств, доказательстве неравенств.

3. Разбор заданий

   • Использование монотонности функции

В дальнейшем будем пользоваться следующими утверждениями.

1. Если функция f(x) имеет положительную производную на промежутке L ((a;b), (a;+), (-;a), (-; +)), то эта функция возрастает на этом промежутке.

2. Если функция f(x) непрерывна на промежутке L ([а;b] [а;b), (а;b], [а;+), (-;а]) и имеет внутри промежутка положительную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на промежутке L.

3. Если функция f(x) имеет на интервале (а;b) тождественно равную нулю производную, то эта функция f(x) есть постоянная на этом интервале.

Пример 1. Решить уравнение

. (1)

Решение. Рассмотрим функцию

Область определения этой функции есть промежуток L= На этом промежутке f(x) непрерывна, внутри его имеет производную

f'(x) = 5х⁴ + Зх² +.

Эта производная положительна внутри промежутка L. Поэтому функция f(x) возрастает на промежутке L. Следовательно, она принимает каждое свое значение ровно в одной точке. А это означает, что уравнение (1) имеет не более одного корня. Легко видеть, что является корнем уравнения (1) и по сказанному выше других корней оно не имеет.

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство

е^х > 1 + х. (2)

Решение. ОДЗ неравенства (3) есть промежуток L = (-;+). Рассмотрим функцию f(x) = е^х - 1 - х .Эта функция на промежутке L имеет производите f'(x) = е^х - 1. Легко видеть, что f'(x) > 0 для любых x из промежутка 0 < х < +. Так как на промежутке 0≤ х < + функция f(x) непрерывна, то это означает, что на промежутке 0≤ х < + функция f(x) возрастает Поскольку f(0) = 0, то f(x) > 0 для любого х (0; +). Поэтому любое x (0; +∞) является решением неравенства (2).

Так как f'(x) < 0 для любого х (-; 0) и f(x) непрерывна на промежутке -< х ≤ 0, то функция f(x) убывает на промежутке -<x≤0. Поскольку f(0) = 0, то f(x) > 0 для любого х (-; 0). Следовательно, любое х(-; 0) является решением неравенства (2). Поскольку f(0) = 0, то х = 0 не есть решение неравен­ства (2).

Таким образом, все решения неравенства (2) составляют два промежутка (0; +) и (-; 0).

Ответ: 0<x+; -< x < 0.

• Использование наибольшего и наименьшего значений функции

Справедливы следующие утверждения.

1. Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции, принимаемое ею на интервале L (, . ), может достигаться в тех точках интервала L, в которых ее производная равна нулю или не существует (каждая такая точка называется критической точкой).

2. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции, имеющей на интервале (а; Ь) конечное число критических точек, достаточно вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащих интервалу (а; Ь), а также в концах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

3. Если в критической точке х₀ функция непрерывна, а ее производная, проходя через эту точку, меняет знак с минуса на плюс, то точка х₀- точка минимума, а если ее производная меняет знак с плюса на минус, то х0 - точка максимума.

Пример 3. Решить уравнение

. (3)

Решение. ОДЗ уравнения (3) есть промежуток . Рассмотрим непрерывную функцию на отрезке . Функция на интервале имеет производную

Обращающуюся в нуль только при . Так как функция непрерывна на отрезке , то ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди чисел , и . Так как =2, ==, то наибольшее значение есть =2. Следовательно, уравнение (3) имеет единственный корень .

Пример 4. Решить неравенство

. (4)

Решение. ОДЗ неравенства (2) есть промежуток. Рассмотрим функцию . Эта функция на промежутке имеет производную , которая обращающуюся в нуль в точке .

Рассмотрим функцию сначала на промежутке . Так как непрерывна на отрезке промежутке и для любой точки х внутри промежутка имеем , то возрастает на . Поскольку , то для любого х внутри , т.е. ни одно х не есть решение неравенства (4).

На промежутке ее функция непрерывна, для любой точки х внутри промежутка имеем , поэтому возрастает на . Поскольку , то для любого х внутри , т.е. любое х из промежутка есть решение неравенства (4).

Ответ:

• Доказательство неравенств

Производная может быть с успехом использована при доказательстве различных неравенств. Так, для того чтобы доказать неравенство при , достаточно доказать, что и при . А для того чтобы доказать неравенство при , можно воспользоваться второй производной ( и при ) и т. д.

Пример 5. Доказать, что при имеет место неравенство

(5)

Решение. Рассмотрим функцию . Имеем f(0)=0,, , . Но при (известное неравенство), значит, при . Теперь возвращаемся к: , а затем и . Можно было бы не останавливаться на f" (x), а пойти дальше: , . Последнее неравенство совсем очевидно.

С помощью удачно подобранной функции можно доказать числовые неравенства.

Пример 6. Что больше: или?

Решение. Рассмотрим функцию . Эта функция определена при х>0 и имеет наибольшее значение при х=е. (Докажите!) Значит, или , откуда > . Можно рассмотреть другую функцию: , , при . Значит, возрастает и > .

4. Закрепление темы

   1. Решить неравенство

   2. Решить уравнение

   3. Решить неравенство

   4. При каком натуральном значении параметра а уравнение имеет ровно два корня?

   5. При каком натуральном значении параметра m уравнение имеет ровно один корня?

   6. При каком наименьшем целом значении параметра p уравнение имеет три корня?

5. Итог занятия

14-15 занятие

Задачи на наибольшие и наименьшие значения

Алгоритм решения задач:

1. Выбирают одну из переменных (независимую переменную)и выражают через нее ту переменную, для которой ищется наибольшее или наименьшее значение.

2. Находят промежуток изменения независимой переменной.

3. Находят производную полученной в п. 1 функции.

4. Приравнивают производную нулю и находят корни получившегося уравнения.

5. Находят точки, в которых функция не имеет производной.

6. Вычисляют значения функции на концах промежутка изменения независимой переменной и в точках, найденных в п. 4 и 5, а потом выбирают из них наибольшее (соответственно наименьшее).

При этом для облегчения вычислений полезно иметь в виду следующие замечания:

1. Точка, в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение, не изменяется при следующих преобразованиях выражения, задающего функцию:

а) прибавлении постоянного слагаемого;

б) умножении на отличное от нуля число (только при умножении на отрицательное число наибольшее значение переходит в наименьшее и обратно);

в) возведении в степень с натуральным показателем, если функция неотрицательна.

Например, функция имеет на отрезке [0; 7] наибольшее значение в той же точке, что и функция (отброшено постоянное слагаемое 8, функция умножена на положительное число 3, после чего возведена в квадрат).

2. Если положительная функция f принимает в точке а наибольшее (соответственно наименьшее) значение, то функции - f и принимают в той же точке наименьшее (соответственно наибольшее) значение.

Пример 1

Стороны прямоугольника равны 2 и 5.Через каждую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 8. Найдите наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника.

Решение.1) Пусть - длина катета, расположенного на меньшей стороне прямоугольника, а - длина второго катета. Тогда (0;, длина гипотенузы равна и по условию

Площадь оставшейся части наименьшая, если площадь отрезанного треугольника наибольшая. Исследуем площадь треугольника S= c помощью производной.

=

=

Знак совпадает со знаком числителя . Найдем его корни. .

Ветви параболы - вверх и Значит, на промежутке (0;2] производная а S возрастает и наибольшее значение принимает при 2. Вычислим наименьшее значение оставшейся части:

Ответ:

Упражнения для самостоятельной работы.

1. В круг радиуса R впишите равнобедренный треугольный наибольшей площади.

2. Требуется огородить участок земли, примыкающий одной стороной к морю, с помощью а метров проволоки. Какую форму должен иметь участок, чтобы площадь его была наибольшей?

3. При каких размерах прямоугольная коробка с квадратным основанием и полной поверхностью S имеет наибольший объём?

4. Из проволоки длиной 24 см надо сделать модель прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. При каких размерах сторон объём параллелепипеда будет наибольшим?

5. Найдите прямоугольник наибольшей площади, если длина диагонали l.

6. Заданы периметр 2р треугольника и длина а одной из его сторон. Какие длины должны иметь две другие стороны, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

7. Если батарея с электродвижущей силой Е и внутренним сопротивлением r замкнутым проводником с сопротивлением R, то мощность получающегося тока W выражается формулой . При каком значении R мощность будет наибольшей?

8. Сила действия кругового электрического тока на небольшой магнит ось которого направлена перпендикулярно плоскости круга и проходит через его центр, выражается формулой , где а радиус круга, х -расстояние от центра круга до магнита и с - постоянная. При каком значении х эта сила будет наибольшей?

9. Потенциал в точке М электрического поля, образованного зарядом е, равен , где -расстояние от точки М до заряда. В точках О₁ и О_2, удаленных друг от друга на а_, помещены заряды и одинакового знака. В какой точке отрезка О₁ потенциал суммарного электрического поля будет наименьшим?

10. Освещенность данной точке пропорциональна силе света источника и обратно пропорционально квадрату расстояния точки до этого источника.

16 занятие

Применение производной для решения экономических задач.

Аппарат дифференциального исчисления позволяет решать широкий класс экономических задач. Необходимость использования производной при анализе экономических проблем возникает, в частности, при определении оптимального значения того или иного показателя, от которого зависит финансовое состояние компании. Так, для эффективной организации деятельности фирмы финансовому менеджеру необходимо знать величины оптимальных затрат, оптимального объема выпускаемой продукции, оптимальную численность работников и т.п. Задачи такого типа порождают особый класс экстремальных задач в экономике, решение которых требует использования аппарата производной.

Начнем с задачи выбора стратегии фирмой, действующей на конкурентном рынке.

Заметим, что конкурентный рынок характеризуется следующими основными признаками:

• наличие большого числа относительно мелких фирм (продавцов);

• наличие множества покупателей, информированных о продаваемой продукции и ее ценах;

• однородность продаваемой продукции по своим характеристикам;

• отсутствие экономических барьеров для входа и выхода с рынка.

Основным следствием данных условий является отсутствие возможности у отдельной фирмы влиять на рыночную цену, т.е. фирма, действующая на конкурентном рынке, может продавать свой продукт только по сложившейся на рынке цене Р (price) на данный товар. В качестве примера такого рынка может выступать рынок сельскохозяйственной продукции.

Главная цель любой фирмы, действующей на рынке, - максимизация своей прибыли. Прибыль П (profit) определяется как разность между обшей выручкой (доходом) R (revenue), полученной от реализации Q (quantity) единиц продукции, и общими издержками С (costs), связанными с затратами на ее производство и реализацию. Поскольку выручка и издержки зависят от объема выпускаемой продукции, т.е. являются функциями от количества товара 0, то и прибыль, в свою очередь, является функцией от 0. В результате имеем следующее выражение для функции прибыли:

Так как совокупная выручка конкурентной фирмы - это денежная сумма, полученная от продажи 0 единиц продукции по цене Р за единицу товара, то можно записать, что R(Q) = Р • Q. Следовательно,

Таким образом, перед фирмой возникает задача определения такого количества товара 0, от реализации которого она получит максимальную прибыль. Эта задача является стандартной задачей математического анализа на нахождение значения аргумента, при котором функция принимает наибольшее значение на некотором промежутке.

Отметим, что решение прикладной задачи на экстремум ведется по известной схеме, состоящей из трех этапов:

1. формализация (запись оптимизируемой величины в виде функции некоторого аргумента);

2. математизация (исследование функции на экстремум средствами математического анализа);

3. интерпретация (формулировка полученного результата в терминах исходной задачи).

Рассмотрим несколько задач на определение оптимального объема выпуска продукции на кон­курентном рынке, выделяя в ходе их решения отмеченные этапы решения прикладных задач.

Задача 1. АО «Сладкий пирожок» работает на конкурентном рынке хлебобулочной продукции и занимается выпечкой ватрушек. Функция издержек выпечки ватрушек имеет вид:

, где - количество ватрушек (в тыс. шт.). Известно также, что производственные мощности фирмы позволяют выпекать ей не более 1,5 тыс. шт. ватрушек ежедневно. Определите, сколько ватрушек в день следует выпекать фирме «Сладкий пирожок», чтобы получать максимальную прибыль, если рыночная цена на ватрушки составляет 6 руб. за штуку?

Решение.

I этап (формализация)

Запишем выражение для функции прибыли:

Так как по смыслу задачи , то задача сводится к исследованию функции на наибольшее значение на отрезке [0; 1,5].

II этап (математизация)

,

,

,

.

Так как, , , то наибольшее значение функции на отрезке [0; 1,5] равно и достигается при Q = 1.

III этап (интерпретация)

Фирме следует выпекать 1 тыс. шт. ватрушек ежедневно, чтобы получаемая прибыль была максимальна.

Задача 2. Фирма «Сольпром » является монополистом по производству соли в небольшом городке. Она сталкивается с кривой спроса на свою продукцию, заданную следующим уравнением: Q + 20Р = 300, где Р - цена одной пачки соли в рублях, Q - количество выпускаемых пачек в день Функция общих издержек данной фирмы имеет следующий вид: C(Q) = Q² + Q + 120. Определите, какую цену на одну пачку соли следует установить фирме, чтобы прибыль, получаемая ежедневно, была максимальной?

Решение.

I этап (формализация)

) где - функция спроса на продукцию монополиста. Зависимость находим из условия :

Следовательно,

.

Таким образом,.

II этап (математизация)

Проведя исследование функции 77 на наибольшее значение на промежутке [0; +), заключаем, что наибольшего значения функция достигает при .

Соответствующее данному значению значение Р находим из равенства

III этап (интерпретация)

Таким образом, для получения максимальной прибыли фирме необходимо назначить цену 10 руб. за одну пачку соли.

Рассмотренные выше примеры позволяют показать учащимся возможности применения аппарата производной к решению широкого класса задач экономи­ческого содержания, связанных с поиском условий и параметров, характеризующих оптимальное поведение фирмы, действующей на различных рынках.

17 занятие

Обобщающее занятие по теме: «Производная и ее применение»

При проведении дидактической игры за неделю до урока группа делится на команды, и подготовка ведется по командам. Команда выбирает себе капитана, название, девиз. Преподаватели готовят к игре расчетные задачи, загадки, практические опыты, при этом используя материалы, подготовленные студентами.

Такой урок можно проводить как зачетный по любой теме или как внеклассное мероприятие, которое можно проводить в Неделю предметных дисциплин.

I. Цели и характеристика игры.

1. Повторение учебного материала.

2. Проверка усвоения вопросов теории и умения решать задачи.

3. Выявление того, что не усвоено, с целью последующей корректировки.

4. Воспитание устойчивого интереса к изучению математики.

5. Воспитание ответственности и серьезного отношения к занятиям.

Урок-зачет по теме «Производная и ее приложения» проводится в форме дидактической игры «Восхождение на пик производной».

Преимущества такой проверки знаний теории и практических навыков:

1. каждый студент несет ответственность за всю команду;

2. слабые студент чувствуют себя уверенно, так как рядом с ним опытные товарищи;

3. если при решении какого-либо упражнения была допущена ошибка, есть возможность ее исправить, что невозможно в обычай самостоятельной работе;

4) игра позволяет развить интерес к изучению математики.

Особенность игры - ее многоцелевой характер, поскольку в ней реализуется комплекс дидактических задач.

II. Правила игры Учащиеся группы делятся на три команды.

Игровое поле состоит из красочного планшета, на котором изображен пейзаж с нанесенным на него маршрутом восхождения и привалами (рис. 1). Привалы (их 8) пронумерованы, старт обозначен флажком. Сбоку на планшете находятся карманы (они также пронумерованы), в которых находятся карточки с заданиями для каждого привала.

Команды с капитанами занимают старт - исходную базу. Капитаны по очереди бросают игровой кубик (рис. 2, 3). Команды выполняют задания, выпавшие для них на верх­ней грани кубика, и определяют число, указывающее, на сколько ходов нужно сместиться.

Продвижение по маршруту отмечают цветными флажками. На каждом привале команды выполняют задания (число заданий определяется числом членов команды), взятые из соответствующего кармана (например, на третьем привале - из кармана 3., что дает право на следующий бросок кубика.

Рис.3

На некоторых привалах команду ожидает сюрприз-неудача. Так, на карточке, относящейся к привалу 2 написано: «Туман, снегопад, команде вернуться на базу»; на карточке к привалу 5: «Ожидается сход лавины, срочно спуститься на один переход». В этом случае альпинисты-студенты должны следовать указаниям и «выполнить отходный маневр». На каждом привале преподаватель проверяет правильность выполнения задания. Если все задания выполнены верно, команда очередной раз бросает кубик. Если в решении или при ответе на вопрос допущена ошибка, то члены команды должны ее исправить. Выигрывает команда, которая раньше других поднимется на «пик Знаний».

Привал I, «Ромашка».

Проверка умения находить производные функции. Команда получает яркую бумажную ромашку, на обратной стороне лепестков которой содержатся задания на нахождение производной. Каждый член команды отрывает лепесток и находит производную.

Привал 2. «Касательная».

Командам выдаются карточки с заданиями, при решении которых необходимо знать геометрический смысл производной и уметь его применять.

Привал 3. «Физика».

Предлагаются задания на выявление умения применять производную при решении физических задач.

Привал 4. «Функции».

Проверка умения исследовать свойства функций с помощью производной. Всем членам команды дается карточка с заданием исследовать функцию и построить ее график.

Привал 5. «График».

Проверка умения учащихся указать свойства функции по характеру изменения графика функции.

Привал 6. «Меткий стрелок».

Имеется мишень, представляющая собой три концентрические окружности: красную, зеленую, синюю. Любой член команды стреляет в нее из пружинного пистолета или дротика. Цвет круга, в который попал снаряд или дротик, определяет цвет конверта с изданием.

Привал 7. «Теория».

Проверка знаний формулировок определений, теорем, свойств, алгоритмов.

Привал 8. «Эстафета».

Посвящен основным формулам темы. На полоске бумаги в столбик записаны формулы, в которых вместо одной какой-либо величины вырезан квадрат (рис. 4). Эта полоска наложена на чистую, и вместе они свернуты в трубочку - эстафетную палочку. Ведущий вручает ее первому члену команды, тот заполняет пустую клетку (на полоске-подложке) в первой формуле, передает товарищу и т. д. Уровень сложности карточек должен быть одинаковым.

В конце урока учитель подводит итоги игры. Называется команда-победитель.

Задания

Привал «Ромашка»

Найдите производную функции.

Привал «Касательная»

1. Дана функция у. Составьте уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой л: = 1.

2. Дана функция . Составьте уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой .

3. Дана функция . Составьте уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой .

4. Дана функция . Составьте уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой .

5. Дана функция . Составьте уравнение касательной к графику этой функции в точке .

6. Определите, под каким углом кривая пересекает ось в точке .

7. Найдите координаты точки, в которой касательная к параболе образует угол в 45° с осью .

8. Определите точки, в которых касательная к графику функции образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.На параболе найдите точку, в которой касательная к ней параллельна прямой .

9. Дана кривая . Найдите точку ее графика, в которой касательная параллельна прямой .

10. Найдите острый угол между параболами и в точке их пересечения, имеющей положительную абсциссу.

Привал «Физика»

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Найдите ускорение точки в конце первой секунды.

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Найдите ускорение точки в конце шестой секунды.

3. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Найдите ускорение точки в момент времени t=2с.

4. Тело постоянной массы движется по закону . Найдите ускорение тела в момент времени t = 0.

5. Найдите силу F (F = ma), действующую на материальную точку массой m, движущуюся прямолинейно по закону в момент времени t=2с.

6. Тело брошено с земли вертикально вверх с начальной скоростью . Определите, через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки подъема, если (считать g = 10 м/с³).

7. Тело брошено вертикально вверх с высоты 20м со скоростью 20 м/с. Определите, какой наибольшей высоты достигнет тело, если (считать g ~ 10 м/с ).

8. Известно, что тело массой m=5кг движется прямолинейно по закону. Найдите кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.

9. Изменение силы тока I в зависимости от времени t задано уравнением Найдите скорость изменения силы тока в моментt=10 с.

10. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам:. В какой момент времени скорости их равны?

11. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: . В какой момент времени скорость первой точки в два раза больше скорости второй?

Привал «Функции»

Исследуйте функцию и постройте ее график.

1. у = х² - 5х + 4;

2. у = х³ - 12х;

3. у = -х³ +х;

4. у = х³ - 3х;

5. у = -х³ + 3х+5;

6. у = х³ - 6х² + 16;

7. у =2х³- 6х + 4;

8. у = х³ + х² - 5х - 3;

9. у = х³ + 6х² + 9x + 8;

10. у = 2х³-3х²-12x + 8/

Привал «График»

На рисунках 5-16 изображены графики функций. Укажите:

а) промежутки, где производная функции положительна;

б) критические точки функции;

в) точки экстремума функции.

г) направление выпуклости.

Привал «Меткий стрелок»

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [- 1; 2].

2. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х = - 2.

3. Постройте график функции .

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [- 2; 2].

5. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см.. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей.

6. Напишите уравнение касательной к кривой в точках ее пересечения с осью Ох.

7. Докажите, что из всех прямоугольников с площадью 400 см³ квадрат имеет наименьший периметр.

8. Найдите высоту равнобедренного треугольника с боковой стороной 12 см, имеющего наибольшую площадь.

9. Назовите по следующим данным промежутки возрастания, убывания, точки максимума и минимума функции:

a)

-2

0

-

0

+

0

-

-1

3

б)

1

6

+

0

-

0

+

10

-3

в)

0

4

8

+

0

-

0

+

0

-

-3

-5

6

10. Какая из следующих схем верно отражает знак производной функции, если график функции изображен на рисунке 17?

11. Укажите на графике функции (рис.18) точки оси абсцисс, в которых .

12. Постройте эскиз графика функции , для которой точка х = - 3 является точкой максимума, а точка х = 4 - точкой минимума.

Привал «Теория»

1. Что называется приращением независимой переменной и приращением функции?

2. Какая функция называется дифференцируемой в точке и на отрезке? Сформулируйте зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

3. Из каких операций складывается общее правило нахождения производной функции? Как вычислить частное значение производной?

4. Сформулируйте определение сложной функции. Как найти ее производную?

5. Каков геометрический смысл производной? Как геометрически определить значение производной в точке?

6. В чем заключается механический смысл производной?

7. Определение производной второго порядка и механический смысл.

8. Сформулируйте определение возрастающей и убывающей функций. Каковы знаки приращения аргумента и функции в интервалах возрастания и убывания? В чем заключается признак возрастания и убывания функции?

9. В чем состоят необходимый и достаточный признаки существования экстремума? Перечислите порядок операций для отыскания максимума и минимума функции с помощью первой производной.

10. Перечислите порядок операций для отыскания максимума и минимума функции с помощью второй производной.

11. Как отыскивается наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке?

Методическая литература

1. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10-11 кл. средней школы, М. 2009

2. Виленкин Н.Я. Алгебра и математика анализ 10 кл., учебное пособие для школьников и классов с углубленным изучением математики Мнемозина 2000 г.

3. Математика. Алгебра и элем. Функции учебное пособие ч.1 Колягин Ю.М. , Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. под редакцией Яковлева М; Агар., 2011

4. Савицкая Е.В., Серегина С.Ф. Уроки экономики в школе Кн.2. Пособие для учителя - М.: Вита Пресс, 2010 г

5. Уравнения и неравенства Олехник С.Н., М.К. Потапов, П.И. Пасиченко.

6. «Математика в школе» №8, 2012.