Урок – лекция по теме «Малая теорема Ферма»

Практико -значимый проект

Тема: Урок - лекция по теме «Малая теорема Ферма»

Выполнила

учитель математики

МОУ «СОШ 9»

Зверева Татьяна Сергеевна

г. Воскресенск 2014 г.

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………………………….3

2. Методические особенности углубленного курса математики…………………………10

3. Урок - лекция по теме «Малая теорема Ферма»………………………………………..15

4. Приложение ……………………………………………………………………………….19

5. Использованная методическая литература………………………………………………33

1. Введение

От учителя и от методики его работы с учащимися прежде всего зависит успех поставленных перед школой задач по сближению изучаемого материала с жизненной практикой, по обеспечению твердыми знаниями основных наук, выработке у школьников прочных умений и навыков. В качестве одно из главных факторов в методике обучения математике следует выдвинуть всемирное развитие у учащихся познавательного интереса как к изучаемому материалу в частности, так и к изучению математики в целом. Следует отметить, что изученное хорошо знает тот, кто может его объяснит другим. Еще древние говорили: «Ученик может превзойти своего учителя, если он много спрашивает, спрошенное усваивает и усвоенное передает другим».

Как же активизировать познавательную деятельность учащихся, развить интерес? Для достижения этой цели хотелось бы предложить программу элективного курса по математике «Магия чисел». Жизненный опыт подтверждает, что данная тема является хорошим стимулом развития познавательных интересов учащихся, их мышления и памяти.

Целью исследования является изучение путей и средств формирования познавательного интереса учащихся старших математических классов в учебно - воспитательном процессе при введении в программу факультатива по математике на тему «Магия чисел».

Предмет исследования - процесс формирования познавательного интереса, развития умений и навыков при решении задач у учащихся старших классов при посещении факультатива по математике (в частности при изучении темы «Магия чисел»).

Объект исследования - интерес к математике, интеллектуальное развитие учащихся старших математических классов при изучении темы «Магия чисел» на факультативе.

В соответствии с целью исследования поставим следующие задачи:

1. Определить теоретико - методические подходы к разработке факультативных занятий по математике по теме «Магия чисел»;

2. Сформулировать педагогические условия формирования познавательного интереса и умений и навыков по решению задач;

3. Выделить психологические и педагогические аспекты проблемы интереса;

4. Обобщить передовой опыт проведения занятий по теме «Магия чисел» с учащимися старших классов;

5. Определить роль элективных занятий на тему «Магия чисел» в формировании интереса учащихся к науке математика в целом.

При введении данного элективного курса по математике в старших классах можно добиться следующих результатов:

• повышение интереса учащихся к обучению;

• активизации познавательной деятельности учащихся;

• осмысленному усвоению знаний;

• формирование таких качеств личности, как терпение, настойчивость, ответственность, любознательность;

• умение самостоятельно добывать знания и применять их на практике.

Для решения поставленных задач применим следующие методы:

- изучение трудов отечественных педагогов;

- обобщение и анализ передового опыта педагогов;

- педагогическая практика;

- беседы с учителями и учащимися;

- проведение открытых уроков;

- вовлечение учащихся в исследовательскую работу.

Организуя и проводя обучение математике, необходимо все время иметь в виду тот идеал человека, который создан нашим обществом. Если мы с этой точки зрения посмотрим на задачи общего образования, и в частности на задачи школьного курса математики, то придем к выводу, что одной из первоочередных и важнейших является задача развития мышления учащихся.

Выше указывалось, что качества человека, формируемые в учебно - воспитательном процессе, делятся на общие и специальные. Мышление, конечно, относится к общим качествам, и его формирование происходит в процессе обучения всем учебным предметам, в процессе всей, жизни учащихся. Однако общепризнанно и исторический опыт это подтверждает, что обучение математике в формировании мышления играет первостепенную и исключительно большую роль. Тем более, что в данное время выдвигается задача формирования у учащихся не любого мышления, а научно - теоретического, в формировании которого роль математики еще более значительна.

Поэтому нужно установить, какой вклад в решение задачи формирования научно - теоретического мышления может внести обучение математике, как оно должно быть для этого организовано, каково должно быть его содержание и методы обучения. Чтобы разобраться во всем этом, необходимо предварительно выяснить, в чем сущность мышления, каковы его особенности и виды, каким образом происходит процесс формирования мышления у детей.

С помощью мышления человек познает окружающий мир. Однако познание может осуществляться и без мышления, с помощью одних лишь органов чувств (чувственное познание), дающее человеку разного рода ощущения, восприятия и представления о внешнем мире. Чувственное познание является непосредственным, ибо оно осуществляется в результате прямого контакта человека, его органов чувств, с познаваемым объектом. Между тем мышление является опосредствованным познанием объекта, ибо оно осуществляется путем чувственного восприятия совсем другого объекта, закономерно связанного с познаваемым объектом, или же путем мысленной переработки чувственных представлений. Таким образом, мышление, конечно, опирается на чувственное познание и без него невозможно, однако оно далеко выходит за его пределы и поэтому позволяет познать такие объекты, такие стороны явлений, которые недоступны органам чувств.

Итак, если чувственное познание дает человеку первичную информацию об объектах окружающего мира в виде отдельных свойств и наглядных представлений (образов) о них, то мышление перерабатывает эту информацию, выделяет в выявленных свойствах существенные, сопоставляет одни объекты с другими, что дает возможность обобщения свойств и создание общих понятий, а на основе представлений - образов строить идеальные действия с этими объектами и тем самым предсказывать возможные результаты действий и преобразований объектов, позволяет планировать свои действия с этими объектами.

Вся эта огромная работа выполняется с помощью мыслительных операций: сравнения, анализа и синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации.

Сравнение - это сопоставление объектов познания с целью нахождения сходства (выделения общих свойств) и различия (выделения особенных свойств каждого из сравниваемых объектов) между ними. Эта операция лежит в основе всех других мыслительных операций.

Анализ - это мысленное расчленение предмета познания на части.

Синтез - мысленное соединение отдельных элементов или частей в единое целое. В реальном мыслительном процессе анализ и синтез всегда выполняются совместно. Ф. Энгельс по этому поводу писал: «...мышление состоит столько же в разложении предметов сознания на их элементы, сколько в объединении связанных друг с другом элементов в некоторое единство. Без анализа нет синтеза».

Абстракция - это мысленное выделение каких - либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. В результате абстракции выделенное свойство или признак сам становится предметом мышления. Все математи-ческие понятия как раз и представляют собой абстрактные объекты. Так, например, понятие геометрической фигуры образуется путем выделения в наблюдаемых предметах их формы, протяженности и взаимного положения в пространстве и отвлечения от всех других свойств. Но при этом производится не только абстрагирование, но и идеализация этих свойств путем мысленного перехода к предельным формам, которые реально, конечно, не существуют.

Обобщение используется в двух различных формах: 1) как мысленное выделение общих свойств (инвариантов) в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов в группы на основе выделенных инвариантов (эмпирическое обобщение); 2) как мысленное выделение в рассматриваемом объекте или нескольких объектах в результате анализа их существенных свойств в виде общего понятия для целого класса объектов (научно - теоретическое обобщение).

Конкретизация также может выступать в двух формах: 1) как мысленный переход от общего к единичному, частному и 2) как восхождение от абстрактно - общего к конкретно - частному путем выявления различных свойств и признаков этого абстрактно-общего: как наполнение, обогащение абстрактно - общего конкретным содержанием.

В зависимости от связи между чувственными и отвлеченными элементами различают три вида мышления: 1) наглядно - действенное, 2) наглядно - образное; 3) теоретическое.

В сложных мыслительных действиях взрослого имеются элементы всех трех видов мышления, но какой - то один из них обычно преобладает. Так, при доказательстве теорем, решении задач доминирует, конечно, теоретический тип мышления, хотя там используются и элементы наглядно - действенного и наглядно - образного мышления.

Каким же образом развивается мышление у ребенка? Как человек переходит от одного вида мышления к следующему? Что оказывает влияние на этот процесс?

Большинство советских психологов (Л. С. Выготский, А. Н. Леонтьев и др.) считают, что обучение должно идти впереди развития. Само умственное развитие рассматривается как процесс присвоения ребенком общественно - исторического опыта, и поэтому он имеет конкретно - историческую, социальную природу: его этапы и психологические особенности определяются системой организации и способом передачи ребенку общественного опыта. Все виды и особенности мыслительной деятельности имеют объективные, общественно задаваемые образцы и усваиваются ребенком как в стихийном, так ив целенаправленном обучении. При этом роль обучения в умственном развитии исторически все время возрастает и в настоящее время является решающей. Следовательно, процессы умственного развития и обучения являются тесно связанными и взаимно обусловленными: обучение опирается на достигнутый уровень развития и способствует дальнейшему развитию ребенка, переходу его на следующий, более высокий уровень развития. Но развитие не следует за обучением как тень, автоматически: оно зависит от содержания и характера обучения и многих других факторов - социальных и воспитательных.

Обычно, говоря о развитии мышления в процессе обучения математике, этот вопрос сводят к развитию математического мышления. Конечно, это верно, ибо естественно, что в процессе обучения математике следует в первую очередь беспокоиться не вообще о развитии мышления, а именно о развитии специфического математического мышления. Весь вопрос только в том, что понимать под математическим мышлением, в чем состоит его специфика.

К сожалению, рассматривая сущность математического мышления, или, как еще говорят, математического стиля мышления, обычно указывают такое огромное число отличительных его качеств, что всякая специфика этого вида мышления теряется. Так, например, указывают такие качества математического стиля мышления: гибкость, активность, целенаправленность, готовность памяти к воспроизведению усвоенного, широта, глубина, критичность и самокритичность, ясность, точность, лаконичность, оригинальность, доказательность .

Несомненно, что математический стиль мышления обладает всеми этими качествами и еще многими другими, но все они не являются специфичными для математического мышления. Трудно согласиться с тем, что математическое мышление отличается от мышления представителей других наук большей ясностью или оригинальностью.

А. Я. Хинчин, известный советский математик, глубоко интересовавшийся проблемами обучения математике и много сделавший в области методики математики, более скромно и более точно указал лишь четыре характерных признака математического мышления:

1. «Для математики характерно доведенное до предела доминирование логической схемы, рассуждения... Эта своеобразная черта стиля математического мышления, в столь полной мере не встречающаяся ни в одной другой науке, имеет в себе много ценного. Очевидно, что она в макси-мальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибок; с другой стороны, она заставляет мыслящего при каждой дизъюнкции иметь перед глазами всю совокупность имеющихся возможностей и обязывает его учесть каждую из них, не пропуская ни одной»;

2. «...лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший ведущий к данной цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно необходимо для безупречной аргументации»;

3. «...четкая расчлененность хода аргументации». Для этого в математических работах широко используется, такой простой прием, как нумерация понятий и суждений, а перед каждым абзацем ставится особое обозначение, указывающее, какой случай из всех рассматривается в данном абзаце;

4. Скрупулезная точность символики. «Каждый математический символ имеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собой искажение, а. подчас и полное уничтожение смысла данного высказывания».

Можно сделать вывод о том, что математическое мышление - это предельно абстрактное, теоретическое мышление, объекты которого лишены всякой вещественности и могут интерпретироваться самым произвольным образом, лишь бы при этом сохранялись заданные между ними отношения.

Рассмотрим методику изучения математики в математических классах.

Здесь будут освещены вопросы изучения математики в математических классах и школах, т. е. в классах и школах с углубленным изучением математики. Эта область методики очень обширна. Основное внимание уделяется содержанию изучаемого материала и методам, которые используются при углубленном изучении математики.

Математические классы были созданы в нашей стране в начале 60-х годов, когда выяснилась необходимость подготовки большого количества специалистов, умеющих использовать прикладные возможности математики: программистов, инженеров - конструкторов, физиков, экономистов и др. Первые итоги работы показали, что эти школы успешно выполняют задачу развития математических способностей учащихся.

В программу общематематического учебного предмета «Общий курс математики» полностью входит программа массовой школы и, кроме того, ряд дополнительных вопросов, важных для математического и общего развития учащихся. Курс математики в математических классах рассчитан на большее учебное время по сравнению с обычными: за счет факультативных и кружковых занятий выделяется 2 - 4 ч в неделю. В настоящее время в соответствии с типовым учебным планом в этих классах изучаются три предмета общего курса математики: математический анализ, алгебра, геометрия.

В математические классы обычно поступают учащиеся, посещающие математические кружки, участвующие в олимпиадах и вообще проявляющие интерес к математике. Набор производится на основе собеседования. Если количество желающих поступить в математический класс превосходит норму, в процессе собеседования предлагаются задачи. Их сложность зависит от конкретных условий, в частности от количества поступающих и степени их подготовленности. Она может меняться в широком диапазоне от заданий, практически не превышающих сложности школьной программы, до трудных олимпиадных задач.

При отборе в математические классы полезно учитывать не только степень математической подготовки, но и сообразительность, остроумие ответов, явную заинтересованность математикой. Уже во время собеседования учитель может составить представление о степени подготовленности своих будущих учеников. Ученики математических классов, которые по каким-либо причинам не смогли продолжать обучение в них, имеют право переходить в обычные классы. При наличии в математическом классе вакантных мест в течение учебного года в него может производиться дополнительный прием.

Система учебной работы в математическом классе имеет ряд особенностей по сравнению с работой в обычных классах. Это касается многих компонентов учебного процесса. Здесь будут отмечены некоторые из них, имеющие прямое отношение к обучению математике.

1. Учебные материалы. К изучению математики в математическом классе привлекается разнообразная учебная литература. Помимо специальных учебных пособий, используются учебники для массовой школы, экспериментальные учебные пособия, различные сборники задач, книги, освещающие опыт работы в математических классах и содержащие материал обучения, математические журналы и газеты («Математика в школе», «Квант»).

2. Методы обучения и контроля. За время существования математических классов сложился определенный подход к обучению математике в них. Он характеризуется, прежде всего, интенсивной самостоятельной работой учеников и использованием некоторых вузовских методов преподавания. Сложились также подходы к дифференциации в обучении и контролю в процессе обучения.

Самостоятельная работа. Самостоятельное выполнение задания - самый надежный показатель качества знаний, умений и навыков ученика. Интенсивная самостоятельная работа - доминирующая черта в обучении математике в любом математическом классе. Формы ее разнообразны: проработка определенных фрагментов учебника (непосредственно на уроке или дома) с последующим выполнением упражнений, подбор упражнений по заданной теме, иногда составление упражнений, подготовка к сообщению на 10 - 15 мин по дополнительной литературе, указанной учителем, и т.п.

Основная задача учителя при руководстве самостоятельной работой учащихся - помочь им в рациональной организации своего труда, привить навык глубокого обдумывания заданий, при котором сочетаются настойчивость движения в избранном направлении и гибкость, необходимая для вы-бора нескольких возможных путей выполнения задания.

Одной из перспективных форм организации самостоятельной работы являются заранее подготовленные листки с разнообразными заданиями различной степени сложности.

Лекционные курсы математики. Урок - лекция - это совместное размышление и деятельность учителя и учеников. Его необходимо подготовить и провести таким образом, чтобы целая тема была рас-смотрена крупным блоком и обеспечены высокий научный уровень изучаемого материала, а также доступность изложения, изящество формулировок и решения. Именно в ходе лекции в наибольшей степени пробуждается интерес к математике. Однако это возможно лишь тогда, когда она не становится простым пересказом параграфа из школьного учебника. При обучении математике в математических классах полезно использовать лекционную форму изложения учебного материала, дополненную занятиями, пост-роенными по образцу семинаров. В некоторых школах циклы лекций читают преподаватели пединститутов и университетов, а семинарские занятия ведут студенты под руководством учителя. Некоторые разделы курса излагать в лекционной форме удобнее всего. Так обстоит дело, например, с действительными числами, потому что нужно сразу представить всю систему свойств, определяющих понятие действительного числа, а на лекции информация сообщается в компактном виде. Целесообразно использовать лекции и на уроках повторения. Следует подчеркнуть, что ученики смогут извлечь пользу практически из любого лекционного курса, хотя на практике получили наибольшее распространение темы, близкие к разработанным для факультативных занятий. В ряде математических школ читается курс теории чисел. Как правило, ограничивается изучением элементарной теории делимости, но могут был затронуты и более продвинутые разделы, такие, как решение целочисленные уравнений.

Дифференциация в обучении. Как в любом классе, ученики математических классов различаются по своим способностям и интересам следовательно, для успешности обучения необходимо обеспечить каждом ученику нагрузку, соответствующую его индивидуальным возможностям. Это достигается различными способами: дифференцированными домашним заданиями, необязательными заданиями, дополнительными индивидуальным заданиями. Этой же цели служит индивидуализированный контроль.

При всем разнообразии форм дифференциации, которые используются при обучении в математических классах, ее основой является различие в тех заданиях, которые выходят за пределы обязательного минимума, ориентированы на разных учеников класса.

Контроль усвоения знаний. Методика проведения текущего контроля, проверочных, самостоятельных и контрольных работ имеет много общего с аналогичной работой в обычных классах. Особенностью контроля в математическом классе является привлечение студентов к проверке усвоения учебного материала: 2 - 3 студента могут обеспечить на уроке проверку заданий у всех учащихся.

Для контроля усвоения больших разделов учебного материала проводите зачет. Основное требование к нему связано с необходимостью совмещение контроля и обучающих функций. На зачет могут быть вынесены избранные теоретические вопросы, наиболее характерные для данной темы, задачи всего основного курса и дополнительные задания. Можно предлагать всему классу задания одинаковой сложности, а можно давать задания с учетом способностей учащихся. Зачет может проводиться письменно и устно.

На выпускном экзамене учащиеся математических классов, как и в массовой школе, выполняют письменную работу по математике. Как правило, сложность экзаменационных заданий в математическом классе превосходит сложность задач аналогичного содержания в обычных классах. Усложнение заметно как в отношении большей технической оснащенности, требуемой для решения, так и гибкости мышления, которую необходимо проявить в процессе решения задач и осмысления ответов.

2. Методические особенности углубленного курса математики.

1) Совместимость углубленного изучения математики и общеобразовательного курса.

В математических классах обширнее и глубже, чем в массовой школе. Это может служить ориентиром для работы учителя в математическом классе, однако необходимо учитывать идейную общность этих курсов. Она выражается в том, что эти курсы обладают по существу:

1) единой системой содержательно - методических линий, вокруг которых концентрируется изложение материала (линия изучения числовых систем, функциональная линия и т. д.);

2) единой понятийной основой;

3) близкими приемами изложения материала обучения;

4) одинаковым упором на формирование представлений о прикладных возможностях математики;

5) тождественной системой межпредметных связей;

6) единой установкой на формирование тех компонентов материалистического мировоззрения, которые могут быть особенно эффективно раз-виты на материале математики.

Наличие указанных черт общности выражает один из основных принципов педагогики - единый подход к обучению во всех типах школ.

2) Роль задач.

Задачи выполняют весьма существенную роль при изучении математики, которая еще более повышается при ее углубленном изучении. Здесь можно отметить несколько специфических особенностей. Наиболее заметной является использование задач при изучении нового материала, вводимого нередко в виде серии задач, на которых он отрабатывается.

При углубленном изучении математики большое количество задач направлено на установление взаимосвязи различных изученных разделов математики. Целью при этом служит воспитание у учеников смелости и находчивости в поиске способов решения задачи не только в ближайшем окружении условия, но и в более широкой, иногда даже неожиданной области.

Отметим, что при использовании задач в качестве мотивировки введения нового математического понятия или метода особенно полезны содержательные задачи. Одним из важных этапов их решения является составление соответствующих математических моделей, которые служат далее предметом изучения. Решение большинства довольно трудных задач даже на математических олимпиадах сводится в конечном итоге к умелому распознаванию небольшого числа идей, отраженных учителем в ключевых задачах. Кроме того, система ключевых задач позволяет, обосно-вано дифференцировать работу учащихся, так как овладение умением решать ключевые задачи гарантирует выполнение программных требований к их знаниям и умениям. Учащиеся, интересующиеся математикой, оттолкнувшись от этих задач, свободно переходят к следующему качественному этапу работы с математическими задачами.

3. Выделение важнейших математических понятий, идей, фактов и методов.

При изучении каждой из математических дисциплин школьники знакомятся с огромным количеством новой для них информации. Обилие рассматриваемого материала не должно скрывать от них наличия в каждом курсе ведущих идей, методов, приемов, которые наиболее важны для усвоения. Для выделения и специального направленного изучения наиболее важного матери-ала используется весь комплекс методических средств, находящихся в распоряжении учителя. К указанию роли и значения такого материала следует неоднократно возвращаться.

Наиболее удобная форма изложения ключевых идей лекционная. После анализа одной или нескольких вводных задач и выявления интересующей нас структуры целесообразно изложить доступный ученикам фрагмент теории, затем рассмотреть разнообразные приложения как к задачам, так и к организации теоретического материала.

Часто используется обобщение некоторой задачи либо метода ее решения. Например, в курсе алгебры необходимо сформировать у учеников «функциональное видение» уравнения, т. е. привычку при решении уравнения представлять, а если нужно, и исследовать его график. Такая привычка, естественно, может возникнуть лишь в ходе анализа нескольких примеров, которые были удачно решены с помощью этого приема.

Для выделения ведущих идей иногда удобно использовать задания, в которых нужная идея скрыта за внешне «несерьезным» фоном.

4) Прикладной аспект обучения математике.

При изучении математики в математических классах вопросы приложений математики должны занимать, как и в массовой школе, центральное место в курсе. Возможности углубленного курса математики позволяют исследовать задачи прикладного содержания, требующие для своего решения достаточно сложных математических средств.

Прикладной аспект обучения математике можно рассматривать в двух планах. Во - первых, в связи с развитием теории, развертываемой в тес-ном единстве с определенным полем приложений. Во - вторых, на задачах или циклах задач прикладного характера, использующих «неспецифические» математические приемы.

5) Строгость при изучении математики.

Углубленный курс математики, как и обычный, не может быть построен с «максимальной» строгостью изложения материала. Вместе с тем следует добиваться осознанного отношения учеников математических классов к проведению доказательств и в более широком плане ясности пони-мания ими структуры математической теории, роли доказательств в ней. Этого можно добиваться различными способами, причем наиболее целесообразно использовать их совместно.

а) При изучении каждой достаточно обширной темы необходимо несколько
утверждений приводить с возможно более развернутыми, полными доказательствами,

б) Знакомство с аксиоматическим методом входит в число программных
требований к изучению математики.

Подобный, вполне строгий способ изложения теории далеко не всегда удобен для изучения. В дальнейшем учителю необходимо систематически отмечать неполноту рассуждений в тех случаях, когда это представляется методически целесообразным. В частности, очень полезно предъявлять контрпримеры, показывающие значение той или иной посылки.

в) Исключительно большое значение в формировании правильного представления о математической строгости имеет сопоставление строгих доказательств с рассуждениями, использующими геометрическую наглядность или физическую интерпретацию математических понятий.

г) Следует сказать также несколько слов о требованиях, которые нужно предъявлять к выполнению учениками задач и упражнений. Записи должны быть логичными, четкими, как и речь. Не следует допускать злоупотребления символикой. Необходимо формировать в учениках чувство формы и меры.

6) Внутрипредметные связи дисциплин математического цикла. Общей чертой изучения математики в массовой и математической школах является тесная взаимосвязь ведущих линии курса математики. В качестве конкретных примеров можно привести взаимосвязи, в значительной мере определяющие стиль изучения следующих тем: графики функций - геометрические преобразования, неравенства - геометрическое содержание неравенств, площадь - интеграл.

В математических классах к связям такого рода добавляется незначительное число новых. Примерами могут служить связи дифференциальных уравнений с геометрией (через понятие касательной), комплексных чисел с тригонометрией и решением уравнений, комбинаторики с теорией вероятностей.

Можно отметить, что при углубленном изучении математики внутрипредметные связи ориентированы на формирование приемов решений задач. Сравнение различных решений задачи особенно уместно при заключи-тельном повторении и подготовке к экзамену. Обычно оно проводится при разборе вариантов вступительных работ в вузы.

7. Отражение истории и методологии математики.

Математика имеет богатую историю и продолжает интенсивно развиваться. В процессе изучения математики это нужно в достаточной мере учитывать. Рассмотрение отдельных вопросов истории, указание на принципиальные компоненты структуры и приложений изучаемых понятий очень оживляют уроки и выполняют важные воспитательные функции, формируя мировоззрение учащихся. Мы говорим только об отдельных вопросах не случайно. По - видимому, организация более или менее обширной системы изучения историко - методологического материала не даст положительного эф-фекта. Для нее курс математики в математических классах недостаточно глубок, в нем по понятным причинам уделяется большее внимание изучению конкретных понятий, методов, приемов, нежели их историко - методологическому осмыслению.

Наиболее целесообразно в этой связи освещать те вопросы, которые естественно напрашиваются при изучении материала. Подобных мест в курсе очень много. Инициатива в выделении тех из них, с которыми можно связать историко-методологические отступления, всецело принадлежит учителю. Однако мимо некоторых вопросов нельзя пройти ни при каких условиях. К их числу принадлежат, например, происхождение аксиоматического метода и его роль в математике, связь между математикой и естествознанием, происхождение основных математических понятий (функция, алгебраическая операция, отдельные числовые системы, некоторые классы функций, предел, непрерывность и т. д.).

7. Специфика системы учебных заданий.

Необходимо отметить, что особую роль выполняют задания для развития творческих способностей ребят. Работа в этом направлении связана с преодолением значительных трудностей, так как общая математическая культура школьников все же недостаточно высока. Следует всячески поощрять стремление учеников к творчеству, возникающее в результате напряженного изучения тех вопросов, которые вызвали у них повышенный интерес.

Наибольшие трудности связаны с отбором заданий, которые были бы одновременно посильны ученикам и требовали бы от них по-настоящему творческого подхода к выполнению, т. е. были бы в каком-то отношении новыми. Нередко сами ученики задают вопросы, на которые учителю трудно ответить сразу, но которые заключают в себе возможности поиска. В таких случаях уместно поощрять учеников к самостоятельному исследованию. Одна из стандартных ситуаций, в которых возникают подобные вопросы, - рассмотрение свойств и признаков в их взаимной связи. Часто, например, свойство доказывается несложными рассуждениями, а признак может оказаться трудно доказуемым.

Не меньшее значение должно придаваться привитию ученикам прочных навыков выполнения преобразования алгебраических выражений, аккуратной записи решений уравнений и различных задач. Необходима работа и по формированию навыков вычислений с достаточно громоздкими числовыми данными.

Важно объяснять ученикам, что лишь твердое владение вычислительными процедурами может обеспечить дальнейшее продвижение в математике. Необходимо указывать и на соответствующие требования, предъявляемые на вступительных экзаменах в вузы.

3. Урок - лекция по теме «Малая теорема Ферма».

Цели:

- образовательная: познакомить учащихся с основными определениями и понятиями темы «Малая теорема Ферма», разобрать несколько примеров, иллюстрирующих данную теорему; пояснить, каким образом может применяться теорема при решении задач;

- развивающая: развить интерес к предмету, любознательность, память, зрительную и слуховую, мышление;

- воспитательная: воспитать усидчивость, уважение к окружающим, чувство ответственности и принципы морали.

Метод: словесно - наглядный.

Оборудование: конспект урока, письменные принадлежности, проектор, маркерная доска (или интерактивная), урок в электронном виде.

План урока:

1. Организационный момент (2 мин.).

2. Объяснение нового учебного материала (36 мин.):

   1. Формулировка малой теоремы Ферма (9 мин.).

   2. Обобщение Эйлера теоремы Ферма (9 мин.).

   3. Применение теорем Ферма и Эйлера (9 мин.).

   4. Иллюстрационное решение упражнений по данной теме (9 мин.).

3. Итоги урока, домашнее задание (2 мин.).

1. Организационный момент.

«Здравствуйте! Сегодня на уроке мы с вами познакомимся с увлекательной темой «Малая теорема Ферма», рассмотрим ее обобщение, разберем несколько упражнение на данную тему».

2. Объяснение нового учебного материала:

   1. Формулировка малой теоремы Ферма.

«Остановимся на одном способе распознавания простоты натурального числа. Он связан с важной теоремой, которая интересна сама по себе и будет нам нужна в дальнейшем.

Ферма сформулировал утверждение: «Если р простое число и а взаимно простое с р, то существует такой делитель s числа р - 1, что а ^s - 1 делится на р; более того, при любом натуральном т число а^ms -1 тоже делится на р. В частности, на р делится разность а ^{р -1} - 1».

Последнее это утверждение получило название малой теоремы Ферма.

Малую теорему Ферма удобно записывать в терминах теории сравнений, введенной К. Гауссом в знаменитых «Арифметических исследованиях». Говорят, что два числа а и b сравнимы по модулю т, и пишут:

а ≡ b(тоd т),

если разность а - b делится на т.

Малая теорема Ферма (чаще ее просто называют теоремой Ферма) на языке сравнений формулируется так: «Если р простое число и а не делится на р, то а^{р -1} ≡1 (mod p)».

Доказательство. Поскольку а не делится на р, то а = кр + r₁ , 0 < r₁ <р и а ≡ r₁ (mod р), отсюда 2а ≡2r₁ ≡ r₂ (тоd р).

Далее найдем 3а = r₃(тоd р),..., (р - 1)а ≡ r_{p - 1} (mod р). Перемножив все сравнения, получим 1 * 2 *...* (р - 1)а^{р - 1} ≡ r₁ … r_{p - 1} (mod р).Так как все сомножители r₁ … r_{p - 1} различные и заключены в пределах от 1 до р - 1, то их произведение равно (р - 1)!. В левой части также стоит (р - 1)!. Это число взаимно простое с р, поэтому обе части сравнения можно поделить на (р -1)!. Теорема доказана.

2. В следующем столетии Эйлер обобщил эту теорему на случай произвольного модуля.

Теорема Эйлера: «Если а и т взаимно просты, то .

Здесь φ(т) - функция, названная, по предложению Гаусса, функцией Эйлера. При т > 1 она равна количеству натуральных чисел, меньших т и взаимно простых с ним; при т = 1 ее полагают равной единице. Например, φ(6) = 2, так как взаимно простыми с числом 6 являются лишь два числа 1 и 5. Для вычисления значений φ(т) Эйлер вывел формулу:

где р₁, р₂, ..., р_к - различные простые делители числа т.

3. Применим теперь малую теорему Ферма и теорему Эйлера для выяснения простоты числа т. Чтобы вычисления были менее громоздкими, возьмем наименьшее возможное основание а = 2. Тогда для любого нечетного т > 1 по теореме Эйлера 2^φ(m) ≡ 1(тоd т). При простом т > 2 получаем:

2^{m - 1} = 1(mod m). (1)

Ясно, что если для заданного т сравнение (1) не выполняется, то число т составное. Именно таким методом была доказана делимость некоторых чисел Ферма, хотя этот метод не позволяет найти сомножители составного числа. Однако если сравнение (1) для числа т выполнено, то это еще не гарантирует его простоты. Так 2³⁴⁰ ≡1(mod 341), в то время как 341 = 11 * 31. Причина заключается в том, что имеется меньший, чем 340, показатель s = 10, для которого 2¹⁰ ≡ 1(mod 341). Причем число 10 является одновременно делителем чисел т - 1= 340 и φ(m) = φ(11 * 31) = 10 * 30. И это не случайно. Наименьшее натуральное число s, для которого

a^s ≡ 1(mod m) (2)

называется показателем числа а по модулю т.

В частности, если НОД(а, т) = 1, то из теоремы Эйлера следует, что s делитель числа φ(m). Например, для т = 91 =7 * 13 имеем φ(91) = 6 * 12 и легко проверить, что 12 - наименьший показатель, при котором 2¹² ≡1(mod91). Именно об этом показателе s шла речь в упомянутом ранее письме Ферма. Только он рассматривал случай простого числа т_ь а тогда φ(m) = т - 1, и он писал о делимости т - 1 на s.

Если НОД(a, т) = 1 и выполняется сравнение (1), то оба числа т - 1 и φ(m) кратны s. В этом случае число т может быть как простым, так и составным. Пример составного числа 341 мы рассмотрели выше, а теперь обратимся к простому числу 7: имеем φ(7) = 6 и 2³ ≡ 1(mod 7); здесь s = 3 и m-1 = φ(m) = 2s. Для числа 7 вместо a = 2 возьмем другое основание, например а - 3. Тогда 3⁶ ≡1(mod7), но 3 ²≡ 2(mod 7), 3³≡ -1(mod 7), откуда заключаем, что число 7 простое».

3. «Теперь разберем несколько упражнений по данной теме.

Упражнение 1. Убедитесь в верности следующих свойств:

а) сравнения можно почленно делить на одно и то же число, взаимно простое с модулем, в общем случае деление невозможно;

б) если a ≡ b(mod m), то a ^к ≡ b ^к (mod m) при любом натуральном к.

Решение.

а) рассмотрим случай, когда a ≡ b(mod m) (по определению). Умножим обе части тождества на некоторое число d: a d ≡ b d (mod m). Тогда по теореме Ферма, имеем: a d - b d = d (a - b) делится на т. Но d и т взаимно просты (по условию), поэтому на т делится (a - b). В этом нетрудно убедиться, рассмотрев конкретный пример: 15 ≡ 9 (mod 6).

Обе части этого тождества разделить, например, на 3 нельзя, так как 5≡ 3 (mod 6). Как можно заметить, 3 и 6 не являются взаимно простыми. Утверждение доказано.

б) так как a ≡ b(mod m), то (a - b) : m = s (по теореме Ферма). Тогда получаем, что a = b + тs. Отсюда следует, что a ^к = (b + ms) ^к = = т(т ^{к - 1} s ^к +…+ ksb ^{к - 1}) + b ^к . Приведем пример: 11 ≡ 7 (mod 4). Следовательно, 11 = 7 + 4 * 1. Возведем обе части тождества во вторую степень: 11² ≡ 7² (mod 4), т.е. 11² = (7 + 4 * 1)². Получаем: 121 = 121. При вычислении получаем, что 11² сравнимо с 7² по модулю 4 (в этом нетрудно убедиться).

Упражнение 2. Покажите, что если имеет место сравнение a ⁿ ≡ 1 (mod m), то п делится на s (см сравнение (2)).

Решение.

Мы знаем, что s наименьшее натуральное число, для которого a^s ≡ 1(mod m).

Наша задача, доказать, что п = sк. Решим задачу методом от противного: предположим, что п не делится на s. Тогда п = sk + r, 0 < r < s. Тогда: a ^п ≡ а ^r (mod m). Но по условию a ⁿ ≡ 1 (mod m). Следовательно, получаем, что а ^r ≡ 1 (mod m), а это невозможно при 0 < r < s. Пришли к противоречию, следовательно: п делится на s. Утверждение доказано.

Упражнение 3(если успеем). Докажите, что сравнение (2)выполняется лишь при s = m - 1, тогда т - простое число.

Доказательство. Число s делит φ(m) (это следует из теоремы Эйлера), поэтому φ(m) = ks = k(m - 1). Т.к. φ(m) не может превышать т - 1 (по определению функции Эйлера), то к = 1; откуда следует, что φ(m) = m - 1, значит число т - простое. Утверждение доказано».

4. « Итак, подведем итоги урока: сегодня мы познакомились с интересной темой, которая может многим из вас пригодиться при дальнейшем обучении в ВУЗах, мы разобрали несколько занимательных упражнение по данной теме, которые непосредственно иллюстрируют теоремы Ферма и Эйлера. Запишем домашнее задание:

1. учить записи в тетради;

2. выполнить упражнения:

1. Докажите делимость числа на число ;

2. Приведите пример арифметической прогрессии, состоящей из пяти простых чисел.

4. Приложение.

1. Программа элективного курса по математике для учащихся 10-11 классов.

Пояснительная записка.

Актуальность ведения элективного курса по математике в школьный курс для классов с углубленным изучением данной дисциплины.

В настоящее время тема актуальности введения факультативов по математике в школьный курс стала очень распространенной. Об этом написано множество статей в математических газетах и журналах.

На факультативных занятиях рассматриваются темы, которые не предусмотрены школьной программой. Чаще всего они вводятся в математических классах, где более углубленно изучаются некоторые разделы.

Поэтому введение в школьный курс факультатива по математике очень важно. Во - первых, это дает возможность познакомить учащихся с основами высшей математики, знание которых будет основополагающим при дальнейшем более глубоком изучения науки в ВУЗах и других учебных заведениях. На занятиях учащиеся будут изучать следующие темы: «Простые числа», «Совершенные и дружественные числа», «Арифметический треугольник» и другие. Во - вторых, это дает возможность знакомиться с высшей математикой в рамках школьного курса, не посещая доро-гостоящие курсы. В - третьих, это даст возможность педагогам по заслугам оценить работу учащихся и определить уровень их подготовки по данной дисциплине.

Цели:

- освоение знаний, составляющих основу научных представлений о числах, об их особенностях, об истории их «открытия» и «загадках», связанных с ними;

- овладение умениями и навыками по решению задач;

- развитие познавательных интересов в области математики, интеллектуальных и творческих способностей, внимания, памяти;

- знакомство учащихся с основными теоретическими положениями, с историей математики в целях их общего умственного развития;

- приобщение учащихся к самостоятельной работе.

Задачи:

- развитие умений работы с теоретическим материалом, применение основных полученных знаний к решению задач;

- развитие навыков самостоятельного изучения материала и оценки результатов собственной деятельности;

- выработка навыков проектной деятельности;

- выработка умений для самостоятельной работы с учебной и методической литературой в целях саморазвития;

- выработка навыков по применению полученных знаний в дальнейшей жизни, при выполнении индивидуальных и коллективных проектов, в учебной деятельности и в дальнейшем освоении профессии.

Программа факультатива по математике рассчитана на возраст 15 - 16 лет.

Основными видами работы на факультативных занятий по математике являются: изучение материала, закрепление, контроль за усвоением знаний учащимися, изложение учащимися некоторых тем; курс рассчитан на 1 час в неделю, 34 часа в год.

Тематическое планирование факультативных занятий по математике в 10 - 11 математических классах по теме «Магия чисел».

Ожидаемый результат.

Вследствие прохождения курса факультативных занятий по математике учащиеся должны познакомиться с основными теоретически-ми вопросами, основными определениями, формулировками теорем, полу-чить знания, умения и навыки по решению задач, научиться самостоятельно работать с учебниками и другой научной литературой, подготовиться к дальнейшему более глубокому изучению математики.

Использованная методическая литература.

1. Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн. для учащихся 10 - 11 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. - М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. - 320 с.: ил.

2. «Квант» научно - методический журнал, 2004 г., №6.

3. «Квант» научно - методический журнал, 2006 г., №5.

4. Шибасов Л.П. От единицы до бесконечности. - М.: Дрофа, 2004. - 208 с.: ил.- (Познавательно! Занимательно!)

Теперь рассмотрим подробно разработки нескольких факультативных занятий.

2. Урок объяснения новой темы «Фигурные числа».

Цели:

- образовательная: познакомить учащихся с основными определениями и понятиями темы «Фигурные числа», разобрать несколько сопутствующих примеров, иллюстрирующих данную тему; решить в целях закрепления не-сколько задач;

- развивающая: развить интерес к предмету, память, зрительную и слуховую, мышление, логику и умственные способности;

- воспитательная: воспитать усидчивость, уважение к окружающим, чувство ответственности, самостоятельность.

Метод: словесно - наглядный, практический.

Оборудование: конспект урока, письменные принадлежности, проектор, маркерная доска (или интерактивная), урок в электронном виде, плакаты с рисунками и формулами (на случай отсутствия доски).

План урока:

1. Организационный момент (2 мин.).

2. Объяснение нового учебного материала (16 мин.).

3. «Минутка повторения» (4 мин.).

4. Закрепление пройденного материала: решение задач (16 мин.).

5. Итоги урока, домашнее задание (2 мин.).

1. Организационный момент.

«Здравствуйте! Садитесь! сегодня на занятии мы с вами познакомимся с интересной темой «Фигурные числа», повторим обзорно пройденный материал, закрепим изученную тему при решении задач.

2. Объяснение нового учебного материала.

Немного истории. Известно, что Пифагор изображал числа точками, строил из точек различные фигуры. На этом пути он пришел к понятию треугольных и квадратных чисел. Мы рассмотрим именно эти два простейших случая.

Рассмотрим последовательность правильных треугольников, состав-ленных из точек (рис. 1). Так как левую нижнюю точку тоже считают треугольником, то на рисунке изображено 5 членов этой последователь-ности. Сопоставим каждому треугольнику число, выражающее количество точек в нем. Получим числовую последовательность 1, 3, 6, 10, 15,… Это и есть треугольные числа.

Рис. 1 Рис. 2

Если обозначить их Ф₃(n), где п - номер числа в последовательности, то из рисунка хорошо видно, что Ф₃ (1) = 1, Ф₃ (2) = 1+2, Ф₃(3) = 1+2 + 3, Ф₃(4) = 1+2 + 3 + 4, Фз(5) = = 1+2 + 3 + 4 + 5 и т. д. Очевидно, п - е треугольное число является суммой п первых натуральных чисел, т. е.

Аналогично рассматриваются последовательности квадратов (рис. 2). Подсчитывая количество точек в них, приходим к квадратным числам Ф₄ (1) = 1, Ф₄(2) = 1+ 3, Ф₄(3) = 1+3 + 5, Ф₄( (4) = 1+3 + 5 + 7 и т. д. Здесь тоже подмечаем, что п - е квадратное число есть сумма п первых нечетных чисел, т. е. Ф₄( п) = 1+3 + 5 + ...+ (2п - 1) = п².

Этим способом, рассматривая аналогично последовательности пяти-угольников, шестиугольников и т.д., можно получить любые многоугольные (или, как их еще называют, фигурные) числа. О таких числах писал еще ученик Сократа и Платона Филипп Опунтиус. Общее определение много-угольных чисел было дано лишь во II в. до н. э. Гипсиклом Александрийским. Число называется к - угольным, если оно является одной из сумм членов арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью к - 2. Используя формулу суммы п членов арифметической прогрессии, находим 6 - угольное число с номером п:

(1)

Немного истории. Никомах доказывает в «Изагоге» теорему: всякое многоугольное число равно сумме многоугольного числа предыдущего названия, но занимающего в ряду то же место, и треугольного числа, занимающего предыдущее место. В наших обозначениях она записывается следу-ющим образом:

(2)

Упражнение 1. Докажем равенство (2), используя алгебраическую символику.

Фигурные числа обладают многими замечательными свойствами. Вы сами можете доказать, например, утверждения:

1)всякое четное совершенное число является треугольным;

2)шестиугольное число с номером п является треугольным числом с номером 2п (доказать дома самостоятельно)

3. «Минутка повторения».

Для доказательства этих утверждений вам понадобится вспомнить определения совершенного числа: четное число совершенно тогда и только тогда, когда оно имеет вид n = 2^{k -1} (2^к - 1), где 2^к - 1 - простое число.

Теперь вспомним определение дружественных чисел: каждое из чисел п и т, равное сумме собственных делителей другого, называются дружественными. Из определения вытекает равенство σ(т) = σ(п) = т + п. Давайте выясним являются ли дружественными числами: 124 и 256? А числа 220 и 284? Сумма делителей числа 124 = 2² * 31 равна: 1 + 2 + 4 + 31 + 62 = 100. Эта сумма не равна 256, следовательно, числа 124 и 256 не являются дружественными. Теперь рассмотрим числа 220 и 284. Сумма собственных делителей числа 220 = 2² * 5 * 11 равна 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11+ + 20 + 22+ + 44+ + 55 + 110 = 284. В свою очередь 284 = 2² * 71. Для него соответствующая сумма равна 1 +2 + 4 + 71 + 142 = 220.

4. Закрепление пройденного материала: решение задач.

Упражнение 2. Найдите бесконечную последовательность квадратных чисел, остающихся квадратными после приписывания к ним справа 1.

Решение.

Как мы выяснили ранее, Ф₄(п) = 1+3 + 5 + ...+ (2п - 1) = п². Нам следует решить уравнение: 10т² + 1 = п² (оно выражает при разных значениях т и п последовательность квадратных чисел). Одна пара решения (6, 19) находится методом подбора. Предположим, что пара (т, п) удовлетворяет уравнению, тогда 10(2тп)² + 1=40т²п² + 1 = 40т²(10т² + 1) + 1= = ()²; пара (2тп, 20т² + 1) тоже удовлетворяют уравнению. В результате получаем последовательность решений (6, 19), (228, 721) и т.д.

Упражнение3. Найдите бесконечную последовательность целых чисел, не представимых в виде суммы трех кубов целых чисел.

Решение.

Т.к. (3т)³ ≡ 0 (mod 9), (3т ± 1)³ ≡ ± 1 (mod 9), то x³ + y³ + z³ при делении на 9

имеют остатки 0, ± 1, ± 2, ± 3. Следовательно, числа последовательностей

{9к ± 4} удовлетворяют поставленной задаче.

5. Итоги урока, домашнее задание.

Итак, сегодня мы с вами прошли занимательную тему «Фигурные числа», повторили пройденный материал, закрепили изученную тему. Запишем домашнее задание:

1. учить записи в тетради;

2. доказать указанные выше утверждения;

3. решить упражнения:

а) на клетчатой бумаге нарисован прямоугольник размером т * п. какое максимальное число: а) квадратов; б) прямоугольников можно на нем насчитать?

Всем спасибо за работу! До свидания!»

3. Урок закрепления пройденной темы «Биномиальные коэффициенты».

Цели:

- образовательная: закрепить пройденную на прошлом уроке тему «Биномиальные коэффициенты», решить несколько заданий на данную тему, с целью проверки усвоения материала провести самостоятельную работу за несколько минут до конца урока;

- развивающая: развить память, зрительную и слуховую, мышление, логику и умственные способности, умение грамотно выражать свои мысли;

- воспитательная: воспитать усердие, уважение к окружающим, чувство ответственности, самостоятельность.

Метод: практический.

Оборудование: конспект урока, письменные принадлежности, плакаты с рисунками и формулами, варианты самостоятельной работы.

План урока:

1. Организационный момент (2 мин.).

2. Закрепление пройденного материала с помощью решения различных заданий (20 мин.).

3. «Минутка повторения» (6 мин.).

4. Самостоятельная работа (10 мин.).

5. Итоги урока, домашнее задание (2 мин.).

1. Организационный момент.

«Здравствуйте, садитесь! Сегодня на уроке мы с вами закрепим пройденную тему «Биномиальные коэффициенты», решим несколько задач на заданную тему, повторим теоретический материал обзорно и в конце урока проведем небольшую самостоятельную работу.

2. Закрепление пройденного материала с помощью решения различных заданий.

Упражнение 1. Докажите, что строки с номерами п = к² - 2, где к = 2, 3, 4,…, и только они содержат две тройки соседних членов, образующих арифметические прогрессии; причем эти тройки симметричны относительно биссектрисы угла треугольника.

Решение.

Пусть элементы п - ой строки образуют арифметическую прогрессию: , откуда получаем равенство: 4т² - 4тп + п² - п -2 = 0. Будем считать это выражение уравнением относительно т, найдем корни его: . Они будут натуральными лишь в случае п + 2 = к², где к - натуральное число. На самом деле, тогда и - целые числа, а при к > 2 они еще и положительные. А в cилу свойства, в котором говориться о том, что , таких прогрессий в п - ой строке две. Утверждение доказано.

Упражнение 2. Докажите, что ни в одной строке арифметического треугольника нет:

а) четверки соседних чисел, образующих арифметическую прогрессию;

б) тройки соседних чисел, образующих геометрическую прогрессию.

Доказательство.

а) если бы такая прогрессия нашлась в п - ой строке, то она могла бы быть разбита на две различные трехчленные прогрессии. Из предыдущего упражнения следует, что п = к² - 2. Но в каждой такой строке пара трехчленных прогрессий состоит из одинаковых чисел.

б) из равенства . Отсюда следует, что (п - т + 1)(т + 1) = (п - т)т. откуда: п = -1. Чего быть не может. Утверждения доказаны.

Упражнение 3. Докажите следующие свойства биномиальных коэффициентов: а) ;

б);

в);

г) .

Разберем на уроке под буквами а) и в), а под буквами б) и г) пойдет на дом.

Доказательство.

а) Вспомним равенство:

.

Это свойство вытекает напрямую из него при а = в = 1;

в) решив дома под б) вы увидите, что равенство выполнимо при а = - в = 1 . Тогда из этих первых двух доказательств вытекает третье: необходимо сложить равенства и .

.

Мы видим, что противоположные члены взаимно уничтожаются, и остается искомое равенство: . Утверждение доказано.

Упражнение 4. Найдите сумму всех чисел, расположенных выше п - ой строки арифметического треугольника.

Решение. Рассмотрим арифметический треугольник:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

………………………………………………

Тогда получим, что сумма всех членов арифметического треугольника, рас-положенных выше п - ой строки равна:

S = 1 + (1 + 1) + (1 + 2 + 1) + (1 + 3 + 3 + 1) + (1 + 4 + 6 + 4 + 1) + … =

= 1 + 2 + 2 ² + 2³ + 2⁴ +2⁵ +…+ 2^{п - 1} = 2^п - 1.

Ответ: S = 2^п - 1.

3. «Минутка повторения».

1. Откуда берутся значения биномиальных коэффициентов? (Ответ: биномиальные коэффициенты представляют собой коэффициенты при числах а и в, которые возникают вследствие возведения суммы (а + в) в степень п, где п = 0, 1, 2, 3,… ).

2. Какой треугольник называется арифметическим? (Ответ: это треугольник, который возникает вследствие выписывания строк, состоящих из биномиальных коэффициентов).

3. Немного истории. Как еще называют арифметический треугольник и почему? (Ответ: треугольник Паскаля, потому что он был подробно описан им в «Трактате об арифметическом треугольнике»).

4. Какие свойства арифметического треугольника вы знаете? (Ответ: он симметричен относительно своей биссектрисы; числа, расположенные на прямых, параллельных любой стороне угла, образуют последовательности единиц, натуральных чисел, треугольных чисел, тетраэдральных чисел и симплициальных чисел; если исключить единицы - крайние члены каждой строки, то внутренние числа третьей строки делятся на 3, пятой - на 5, седьмой - на 7, но в то же время для четвертой, шестой и восьмой сток деление соответственно на 4, 6, 8 не выполняется).

4. Самостоятельная работа.

Самостоятельная работа проводится с целью проверки знаний учащихся, полученных по данной теме.

Вариант 1.

1. Докажите следующие свойства биномиальных коэффициентов:

а);

б) .

2. Распишите формулу (а + в) ⁵, используя арифметический треугольник.

Вариант 2.

1. Докажите следующие свойства биномиальных коэффициентов:

а);

б) .

2. Распишите формулу (а + в) ⁶, используя арифметический треугольник.

5. Итоги урока, домашнее задание.

Итак, сегодня на уроке мы с вами решили разнообразные задания для закрепления темы «Биномиальные коэффициенты», решили самостоятельную работу. На следующем уроке будут оглашены ее результаты.

Запишем домашнее задание:

1. Повторить записи в тетради.

2. Решить упражнения:

а) доказать б) и г) из классной работы;

б) задание: «Покажите, что все числа (2^т - 1) - ой строки арифметического треугольника нечетные».

Всем спасибо за работу. До свидания!»

5. Урок обобщения темы «Арифметический треугольник».

Цели:

- образовательная: обобщить полученные за семь уроков знания по темам «Биномиальные коэффициенты», «Вопросы делимости», «Два результата Паскаля», решить несколько задач по данному разделу, повторить основные определения и понятия, в конце урока провести обобщающее тестирование.

- развивающая: развить память, зрительную и слуховую, мышление, умение грамотно выражать свои мысли, умения и навыки по решению заданий;

- воспитательная: воспитать усердие, усидчивость, уважение к окружающим, самостоятельность.

Метод: словесно - практический.

Оборудование: конспект урока, письменные принадлежности, плакаты с рисунками и формулами, варианты теста.

План урока:

1. Организационный момент (2 мин.).

2. Обобщение материала, включающее в себя повторение теоретического материала и решение практических заданий (25 мин.).

3. Итоговый тест по разделу (11 мин.).

4. Итоги урока, домашнее задание (2 мин.).

1. Организационный момент.

«Сегодня на уроке мы с вами обобщим материал пройденного раздела «Арифметический треугольник», вспомним основные определения и понятия, решим несколько обобщающих задач. Это будет своеобразная подготовка к предстоящей проверочной работе».

2. Обобщение материала, включающее в себя повторение теоретического материала и решение практических заданий.

Упражнение 1. Докажите равенство: .

Прежде, чем провести доказательство, вспомним одно из свойств биномиальных коэффициентов: «Элемент п - ой строки, стоящий на т - ом месте, задается формулой: ». Как вы помните, мы доказывали это свойство, после применяя его для вывода других свойств. Воспользуемся им и для доказательства нашего утверждения.

Доказательство. Распишем свойство для нашего случая:

;

;

;

;

0=0. Утверждение доказано.

Теперь докажем с вами некоторые свойства биномиальных коэффициентов, которые мы ранее сформулировали, но оставили без доказательства.

Упражнение 2. Доказать, что в арифметическом треугольнике п - я строка делится на простое число р тогда и только тогда, когда п является степенью числа р, т. е. п = р^с, с= 1, 2, 3, ....

Доказательство. На самом деле, если число п содержит в качестве сомножителя кроме р^с еще и q , не делящееся на р(q > 1), то, как мы видели, найдется внутренний элемент п - ой строки, не делящийся на р. Остается доказать, что п - я строка при п = р^с делится на р. Обратимся к (3):при п = р^с и т < р^с оно принимает вид:. Левая часть равенства делится на р^с, а поэтому делится на р. Причем если в разложении числа т на простые множители число р содержится в степени числа а, то делится на р^{с - а}. Утверждение доказано.

Упражнение 3. Доказать, что сумма чисел, стоящих на п - ой диагонали(нумерацию диагоналей начинаем с нуля), равна п - ому числу Фибоначчи.

Прежде, чем приступить к доказательству, вспомним какие числа называются числами Фибоначчи. Числа Фибоначчи являются членами последовательности, в которой каждое последующее число равно суме двух предыдущих.

Доказательство. Обратимся к биномиальным коэффициентам:

……………………………

На п - ой диагонали в случае четного п стоят числа , а в случае нечетного п - числа . Обозначим через сумму чисел, расположенных на п - ой диагонали. Вычислим сумму при п = 2к:

Учитывая свойство биномиальных коэффициентов и равенства:

получаем:

Таким образом, числа удовлетворяют рекуррентному соотношению , причем =1и , поэтому они совпадают с числами Фибоначчи. Утверждение доказано.

4. Итоговый тест по разделу.

Вопросы к тестированию:

1. Выпишите первые шесть строчек арифметического треугольника.

2. Запишите формулу для п - ого элемента, стоящего на т - ом месте.

3. Верно ли утверждение: «При простом р все внутренние числа р - ой строки арифметического треугольника делятся на (р - 1)». Если неверно, то написать верный вариант.

4. Все строки арифметического треугольника делятся на составное число. Верно ли это?

5. Каким соотношением связаны биномиальные коэффициенты и симплициальные числа? Укажите, с чем связано это соотношение.

6. Какую закономерность обнаружил Паскаль в арифметическом треугольнике?

4. Итоги урока, домашнее задание.

«Сегодня на уроке мы с вами обобщили пройденный материал по раз-делу «Арифметический треугольник», доказали некоторые свойства, которые ранее оставили без доказательства, решили тест, результаты по написанию которого вы узнаете на следующем занятии. Всем спасибо! До свидания!»

5. Урок контрольной работы по теме «Числа Фибоначчи».

Цели:

- образовательная: обобщить полученные знания по теме «Числа Фибоначчи», проверить усвоение изученного материала, проверить умения и навыки учащихся по решению задач;

- развивающая: развить память, мышление, логику, умение сосредоточиться, умения и навыки по решению заданий;

- воспитательная: воспитать усердие, усидчивость, уважение к окружающим, самостоятельность, умение концентрировать свое внимание.

Метод: практический.

Оборудование: конспект урока, письменные принадлежности, вспомогательные плакаты с формулами, карточки с вариантами контрольной работы.

План урока:

1. Организационный момент (2 мин.).

2. Контрольная работа (35 мин.)

3. Итоги урока (3 мин.).

1. Организационный момент.

«Сегодня на уроке мы с вами пишем контрольную работу по теме «Числа Фибоначчи». Основной целью работы является проверка ваших знаний, которые вы получили на уроках по данной теме. В контрольной работе два варианта, задания раздадутся вам на карточках. Удачи!»

2. Контрольная работа.

Вариант 1.

1. Докажите следующие свойства чисел Фибоначчи:

а) ;

б) ;

в) не существует треугольника, длины сторон которого выражаются различными числами Фибоначчи.

2. Покажите, что если - простое число, то при р ≠ 4 его номер р тоже является простым.

3. Найдите п - ый член последовательности, заданной рекуррентно, если: = 2, .

Вариант 2.

1. Докажите следующие свойства чисел Фибоначчи:

а) ;

б) ;

в) отношение при п → ∞ стремится к числу Фибоначчи.

2. Покажите, что если - составное число, то при р ≠ 4 его номер р тоже не является составным.

3. Найдите п - ый член последовательности, заданной рекуррентно, если: = а, = в, .

3. Итоги урока.

«Сегодня мы с вами решили контрольную работу, которая позволит определить уровень ваших знаний по данной теме. Итоги работы вы узнаете на следующем занятии. До свидания!»

В заключении хочется отметить, что данная программа разработана с учетом способностей учащихся средних общеобразовательных школ. В настоящее время многие образовательные учреждения выполняют государственный заказ по подготовке учащихся к поступлению в социально- востребованные ВУЗы. На мой взгляд, этот факт не позволяет объять многие области предлагаемых учащимся наук, как гуманитарных, так и математических. Хотя кругозор и мышление многих выпускников не ограничивается школьной программой. Введение подобных элективных курсов способствует не только личностному и умственному развитию, но и предопределяет их дальнейшее обучение в ВУЗах и получение узкой профессиональной специальности.

5.Использованная методическая литература.

1. Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн. для учащихся 10 - 11 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. - М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. - 320 с.: ил.

2. «Квант» научно - методический журнал, 2004 г., №6.

3. «Квант» научно - методический журнал, 2006 г., №5.

4. Шибасов Л.П. От единицы до бесконечности. - М.: Дрофа, 2004. - 208 с.: ил.- (Познавательно! Занимательно!)

5. Немов Р.С. Психология: Учеб. для студентов высш. пед. учеб. заведений: В 3 кн. - 4-е изд. - М.: Гуманит, 2003.

6. Положение о приеме учащихся в математические классы (выдержка и обработка).

34