Методические указания Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ

УРАВНЕНИЯМ

Методические указания.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………………

1.Дифференциальные уравнения первого порядка

с разделяющимися переменными…………………………..

2.Линейные дифференциальные уравнения первого

порядка……………………………………………………………….

Задачи для самостоятельного решения……………………………..

3.Дифференциальные уравнения второго порядка………….…

Задачи для самостоятельного решения……………………………..

Ответы…………………………………………………………………………

Литература……………………………………………………………………

ВВЕДЕНИЕ

Математическое описание самых разнообразных явлений, происходящих в природе, часто приводит к уравнениям, связывающим независимую переменную, искомую функцию (одной переменной) и производные этой функции. Такого рода уравнения называют обыкновенными дифференциальными уравнениями. (В дальнейшем будем называть их дифференциальными уравнениями). Если в дифференциальное уравнение входит только независимая переменная, функция и её первая производная, то уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка.

В общем виде его можно записать так:

если оно решается относительно производной, то его можно записать так:

Если дифференциальное уравнение содержит ещё и производную второго порядка от искомой функции, то оно на- зывается дифференциальным уравнением второго порядка:

Основную трудность при решении задач, приводящих к дифференциальным уравнениям, представляет составление самих дифференциальных уравнений. Здесь нет универсального метода. Каждая задача требует индивидуального подхода, основанного на глубоком понимании соответствующего закона физики, химии, зоологии, биологии и умение переводить эти задачи на математический язык.

Рассмотрим задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Задача 1. Найти закон движения свободно падающего в пусто-

те тела, если пройденный путь начинает отсчитываться от момента времени t = 0 и начальная скорость падения равна нулю. Скорость в этом случае выражается, как известно, формулой .

Решение.

Скорость переменного движения есть производная по времени. Поэтому =gt (1.1)

Из этого уравнения следует, что функция s есть первообразная функции gt. Следовательно, или (1.2)

Для определения произвольной постоянной С используем то условие, что начало отсчёта пути совпадает с началом отсчёта времени, то есть при t = 0 s = 0. Подставляя эти значения в равенство (1.2), находим 0 = 0+С, то есть С = 0, и следовательно, окончательно получаем .

Задача 2. (Об охлаждении тела). Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура воздуха равна 20⁰С. Известно, что в течение 20 минут тело охлаждается от 100 до 60⁰С. Определить закон изменения температуры тела в зависимости от времени t.

Решение.

Согласно условию задачи имеем или

(1.3)

где k>0 - коэффициент пропорциональности и x = - 20.

Разделяя в уравнении (1.3) переменные и затем, интегрируя, получаем

,

что после потенцирования даёт .

Для определения С используем начальное условие x = 80 при

t =0:

Следовательно, или откуда

Коэффициент пропорциональности k определяем из дополни - тельного условия: при t = 20, = 60. Отсюда 60=20+80 или

= и, следовательно, .

Итак, искомая функция .

Задача 3. (О движении моторной лодки). Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью . На полном ходу её мотор выключается и через 40 с после этого скорость лодки уменьшается до Сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Определить скорость движения лодки через 2 мин. после остановки мотора.

Решение.

На движущуюся лодку действует сила сопротивления воды

,

где >0 - коэффициент пропорциональности.

С другой стороны по второму закону Ньютона

и, значит, или .

Решим это дифференциальное уравнение, разделяя переменные и интегрируя, получим:

После потенцирования получаем:

Найдём С, используя начальное условие при t = 0:

Поэтому .

Теперь, используя дополнительное условие - при t = 40c = - получаем или

Следовательно, .

Отсюда искомая скорость равна:

Задача 4. (О потере заряда проводником). Изолированному проводнику сообщим заряд Вследствие несовершенства изоляции проводник постепенно теряет свой заряд. Скорость потери заряда в данный момент времени пропорциональна наличному заряду проводника. Какой заряд останется на проводнике по истечении времени t = 10 мин., если за первую минуту потеряно 100 Кл?

Решение.

Пусть в момент времени t заряд проводника равен . Тогда скорость потери заряда в этот момент времени равна - . По условию задачи или ,

где >0 - коэффициент пропорциональности.

Решим последнее уравнение - это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Разделив переменные и проинтегрировав, получим:

Потенцируя, последнее уравнение получим:

Используя начальное условие при t = 0, найдём С:

Следовательно,

Далее, используя дополнительное условие - при t = 1 мин. , имеем ,

Поэтому

Следовательно, через 10 минут на проводнике останется заряд

Задача 5. (Заряд конденсатора). Конденсатор ёмкостью С включается в цепь с напряжением U и сопротивлением R. Определить заряд конденсатора в момент времени t после включения.

Решение.

Сила I электрического тока представляет собой производную от количества электричества q, прошедшего через проводник, по времени t В момент t заряд конденсатора q и сила тока в цепи действует электродвижущая сила Е, равная разности между напряжением цепи U и напряжением конденсатора то есть

Согласно закону Ома

Поэтому

Отсюда

или ,

то есть, имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Решим его:

используя начальное условие x = СU при t=0, получим: или

Откуда

Задача 6. (Падение с парашютом). Составить закон движения парашютиста, масса тела которого равна m.

Решение.

При падении тел в безвоздушном пространстве их скорость равномерно увеличивается. Иначе обстоит дело, если падение происходит в воздухе. Будем для простоты считать, что сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна скорости падения. Сила F, действующая на тело массы m, равна (знак минус перед поставлен потому, что сила сопротивления воздуха направлена в сторону, противоположную направлению падения). Далее, так как по второму закону Ньютона , где - ускорение, получаем уравнение:

или

с начальным условием при t = 0. Отсюда, вводя обозначе- ние , получаем с начальным условием при t = 0, то есть имеем уравнение с разделяющимися переменными и начальным условием при t = 0.

Значит или откуда

По прошествии некоторого времени станет очень малым числом и скорость падения будет почти в точности равна , то есть падение станет равномерным.

Теперь найдём закон движения парашютиста s = s(t). Для этого перепишем найденное выражение для скорости в виде

,

откуда

что после интегрирования

где С - производная постоянная. Для отыскания С заметим, что при t = 0 пройденный путь равен нулю, то есть при t = 0 имеем

S = 0.

Подставляя эти значения в последнее равенство, получаем

, т.е. . Итак, закон движения парашютиста имеет вид

Задача №7 (О прожекторе). Определить форму зеркала, обладающего тем свойством, чтобы все лучи, исходящие из источника света, помещённого в точке О на оси вращения, отражались бы зеркалом параллельно этой оси.

Решение.

Для решения задачи будем рассматривать плоское сечение зеркала, проходящее через ось вращения. Поместим источник света в начале координат, и пусть ось вращения совпадает с осью Ох (см. рис. 1). Обозначим через угол, образованный осью Ох и касательной AS в произвольной точке сечения М (х; у).

x

Наша цель найти форму сечения, то есть зависимость координаты у от координаты х: у=у(х). Ломанная ОМТ изображает путь луча, исходящего из источника света в точке О и отражающегося в точке М от поверхности зеркала параллельно оси Ох. Проведём нормаль МN и опустим из точки М на ось Ох перпендикуляр МР. Так как (угол падения равен углу отражения), имеем .

Следовательно, NOM - равнобедренный и поэтому ОМ = ОN. Кроме этого, по построению . Можно переходить к составлению дифференциального уравнения:

ОN = РN - PO, PN= ytg, PO = -x, ON=OM=,

ON = ytg + x =.

Учитывая геометрический смысл производной: , получаем для определения зависимости у от х дифференциальное уравнение первого порядка

.

Для нахождения решения уравнения преобразуем его следующим образом. Умножаем обе части равенства на 2dx:

или

Подстановкой приводим уравнение к уравнению с разделяющимися переменными .

которое преобразуется к виду

Отсюда находим .

Заменяя переменную z её выражением через х и у, получаем

Упрощая полученное уравнение возведением в квадрат обеих его частей, получаем

Таким образом, искомая кривая - парабола с параметром р = С и вершиной, лежащей на расстоянии влево от начала координат (см. рис. 2). Следовательно, искомая отражательная поверхность - параболоид вращения.

2. Линейные дифференциальные уравнения первого

порядка.

Задача №1.

Скорость v, путь s и время t связаны уравнением . Найти закон движения, если при t = 0 s = 2.

Решение:

Так как ,то подставляя это значение v в данное уравнение, получаем дифференциальное уравнение движения:

или - это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим его методом Бернулли, применив подстановку , где , ; , получаем

Сгруппировав члены, содержащие u и вынеся за скобки общий множитель, получим

Выражение в скобках приравняем к нулю:

Для отыскания u имеем уравнение:

По условию при t=0 s=2 и поэтому С=2. Таким образом, искомый закон движения .

Задача2.

В помещении для крупного рогатого скота работают 2 вентилятора, каждый из которых в минуту доставляет по 60м³ чистого воздуха, содержащего 0,01% углекислоты. Полагая, что в коровнике объёмом 1600м³ с начальным содержанием углекислоты в 0,2% находится 120 коров, каждая из которых выдыхает в минуту 0,1м³ воздуха с 5% углекислоты, определить наличие углекислоты в 1м³ воздуха после двухчасового содержания животных в помещении.

Решение.

Пусть содержание углекислоты в 1м³ воздуха в момент времени t есть y(t) (в дальнейшем y). Скорость изменения концентрации равна приращению углекислоты у, делённому на соответствующий промежуток времени t; у определяется углекислотой:

1. выделяемой при дыхании 120 животных,

2. вводимой вентилятором на каждый кубометр,

3. удаляемой за счёт работы вентиляторов

Следовательно,

Как видим, скорость изменения содержания углекислоты пропорциональна у. Перейдя к пределу при , имеем:

. Получено линейное дифференциальное уравнение. Находим его решение. Имеем:

Обозначим тогда Примем следующее обозначение: и подставим в последнее уравнение. В результате получим:

Положим Тогда, учитывая, что , имеем

Определим произвольную постоянную С. При t = 0 согласно условию задачи у = 0,002.

Окончательно имеем:

Если t = 120, то у0,00517, так как второй член очень мал

Таким образом, количество углекислоты в 1м³ (концентрация) увеличится в раза и в дальнейшем увеличиваться уже не будет благодаря работе вентиляторов.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Скорость прямолинейного движения тела задана уравнением

Найти путь, пройденный им за 6с от начала движения.

2. Скорость прямолинейного движения тела . Определить путь его за третью секунду.

3. Скорость тела пропорциональна пройденному пути. За первые 10с тело проходит 100м, за 15с - 200м. Какой путь пройдёт тело за время t?

4. Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 20⁰С, и тело в течение 20 мин. Охлаждается от 100 до 60С, то через сколько времени его температура понизится до 30⁰С?

5. Для сохранения спермы самцов - производителей, её на длительное время замораживают и держат при температуре -4⁰С. За сколько времени сперма охладится до 0⁰С, если её начальная температура 30⁰С и известно, что за 20мин. в термостате она охлаждалась до 20⁰С? Скорость охлаждения прямо пропорциональна разности между температурой тела и температурой в термостате.

6. Найти закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над уровнем моря.

7. Опытным путём установлено, что при брожении кормов скорость изменения массы (прироста) действующего фермента пропорциональна его наличному количеству. Найти закон изменения массы фермента в зависимости от времени.

8. Скорость сокращения мышцы описывается уравнением

где х₀ - полное сокращение мышцы;

- постоянная величина, зависящая от нагрузки;
х - сокращение мышцы в данный момент.

Найти закон сокращения мышцы, если х = 0 при t = 0.

3.Дифференциальные уравнения второго порядка.

Задача 1.

Тело движется прямолинейно с ускорением

Найти закон движения тела, если в начальный момент движения, пройденный путь и скорость равны нулю.

Решение.

Решая данное уравнение, как уравнение типа , получаем

Теперь, используя начальные условия s(0) = 0, , находим: С₂ = 0, С₁ = 0.

Следовательно,

Задача 2.

Материальная точка массой m движется по прямой линии к центру О, притягивающему её силой , где r - расстояние от точки до центра. Движение начинается с состояния покоя при r=a. Найти время, за которое точка достигает центра.

Решение.

По условию задачи в любой момент времени t на точку действует сила . (Иначе сила = масса ускорение). Ускорение равно . Получаем дифференциальное уравнение: или - дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной и производной первого порядка искомой функции.

Обозначим . Тогда и последнее уравнение перепишем в виде дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя будем иметь:

Откуда (перед радикалом ставится знак минус, так как по смыслу задачи функция r убывает и ).

Или

Разделяя переменные в последнем уравнении и затем интегрируя, получаем:

или

Используя начальные условия, имеем: при t = 0, r = a, .

Получим:

Откуда: .

Поэтому: .

Когда точка достигнет центра О, расстояние r = 0 и искомое время .

Задачи для самостоятельного решения.

9. Тело движется с ускорением . Найти закон движения тела, если в начальный момент движения, пройденный путь и скорость равны нулю.

10. Ускорение прямолинейного движения пропорционально времени. Найти зависимость между пройдённым расстоянием и временем, если при t = 0, = 0 и s = 0, а также при t = 1, s = .

11. Ускорение прямолинейного движения пропорционально квадрату времени. Найти зависимость между s и t, если t = 0, = 0 s = 1, и при t = 1 s = 2.

12. Локомотив движется по горизонтальному участку пути со скоростью 72км/ч. Во сколько времени и, на каком расстоянии он будет остановлен тормозом, если сопротивление движению после начала торможения равно 0,2 его веса?

Ответы:

1. 162см.

2. 9см.

3. 

4. через 60мин.

5. 126мин.

6. , где - атмосферное давление над уровнем моря: - высота; >0.

7. , где - масса фермента, образованного к моменту времени t.

8. 

9. 

10.

11. .

12. ;

Литература:

1. Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1985.

2. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2002.

3. Баврин И.И. Высшая математика. М.: Academa 2002.

4. Зайцев И.А. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1998

5. Шипачев В.С. Краткий курс высшей математики. М.: Проспект, 2002.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления. М.: Наука, 1976.

7. Данко П.В., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая матема- тика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 2002, ч.2.