Разработка урока по теме производная

Шахметова Шынар Хамитовна

Учитель математики

Бидаикской средней школы

Уалихановского района

Северо-Казахстанской области.

Очень часто ученики при изучении той или иной темы задают вопрос, зачем это нужно, как это может пригодиться в жизни. Поэтому в своей практике я хотя бы несколько уроков провожу таким образом, чтобы ребята увидели не только абстрактные вычисления, но и практическое применение. Обычно такие уроки проходят в группах.

Производная и ее практическое применение

.Цели урока:

Обучающая: повторить и систематизировать подходы к решению задач различного уровня сложности, проверить готовность учащихся к экзамену по этой теме.

Развивающая: уметь находить ошибки, анализировать.

Воспитывающая: уметь работать в коллективе, принимать решения и нести за них ответственность, учить самоанализу.

Форма урока: урок - практикум.

Вид урока: обобщение изученного.

Оборудование: инструменты интерактивной доски, карточки, презентация слайдов, тренажер, ноутбуки локальная сеть

Ход урока:

1. Организационный момент (вступительное слово учителя)

Мне бы хотелось взять эпиграфом к нашему уроку высказывание Конфуция

Эпиграф:

Три пути ведут к знанию:
путь размышления - это путь
самый благородный,
путь подражания - это путь
самый легкий и
путь опыта - это путь
самый горький.

То есть на уроке мы будем размышлять, подражать, т.е. делать по образцу и набираться опыта. Сегодня на уроке мы подведем итог большой работе, которую мы с вами проделали, изучая важную тему математического анализа «Теория дифференциального исчисления». Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной функции. Первое, с чем вы столкнетесь в институте при изучении высшей математики, будет дифференциальное исчисление. Поэтому мне хотелось бы, чтобы сегодня все полученные вами знания по этой теме обрели систему. И, конечно же, это вам пригодится при сдаче выпускных экзаменов. А сейчас несколько слов из истории.

2. Историческая справка.

Производная - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в. С помощью тех же методов математики изучали в XVII и XVIII вв. различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник «Дифференциальное исчисление».

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX в. французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.

В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

3. Актуализация знаний учащихся.

Фронтальный опрос

1) Начнём урок с теоретических вопросов

· Определение производной

Звучит определение.

Определение. 1. Производной функции ¦(х) в точке х₀ называется число, к которому стремится разностное отношение , при Dх, стремящемся к нулю.

2. Производной функции ¦(х) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции D¦ = ¦(х + Dх) - ¦( х₀) к приращению аргумента Dх, при Dх ®0, если этот предел существует

· Как называется действие нахождения производной функции?

дифференцированием

· В чём состоит геометрический смысл производной?

Производная в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у = ¦(х) в этой точке ¦¢(х) = k = tg a (к = tgx=f(x))

· В чем состоит физический (механический) смысл производной?

Ответ: Скорость - производная пути по времени V =V(t) = S¢(t)

Ускорение - производная скорости по времени (вторая производная пути по времени)

а = а(t) = V¢ (t) = S¢¢ (t)

Заполните таблицу производной:

Функция

Производная

y=C

y´=0

y=x

y´=1

y=kx

y´=k

y=kx+m

y´=k

y=x^m

y´=mx^m-1

y=k x^m

y´=kmx^m-1

y=

y´=-

y=

y´=

y=sin x

y´=cos x

y=cos x

y´= - sin x

y=tg x

y´=

y=ctg x

y´=

Перечислите основные правила нахождения производной

3. Работа по группам в конвертах разложены задания для каждой группы

1 конверт самостоятельная по группам

1 группа.

Вычислите производную функции.

А) y=2.5 Б) y=-3.2 В) y=7.5x Г) y=-10x

Д) y=x² Е) y=2x⁵ Ж) y=2.4x⁴ И) y=2

П) y= Р) y=- З) y= М) y=2cos x

Н) y=3sin x О) y= Л) y=sin x К) y=3

2 группа.

Вычислите производную функции.

А) y=5,3 Б) y=-7.2 В) y=8x Г)y=-2.3x

Д) y=x⁸ Е) y=2.5x⁴ Ж) y=2.4x² Р) y=-

И) y=2 К) y=3 З) y= О) y=

Л) y=cos x М) y=3cos x П) y= Н) y=2sin x

3 группа.

Вычислите производную функции.

А) y=6.5 Б) y=-9.2 В) y=5x Г) y=-7x

Д) y=x⁵ Е) y=2x⁸ Ж) y=2.4x² Р) y=-

И) y=2 З ) y= О) y= П) y=

К) y=5 Л) y=5sin x М) y=4cos x Н) y=7sin x

2 конверт. Найдите значение производной в данной точке (презентация) (по группам, проверка у доски )

1 группа 2 группа 3 группа

3 конверт. Изображен график производной функции. По графику ответить на вопросы:

а) количество точек максимума;

б) количество точек минимума;

в) число промежутков возрастания;

г) число промежутков убывания;

4 конверт. С помощью схемы исследования функции исследуйте функцию у=2х³-3х²-36+5

1. Найдите область определения

2. Найти производную функции у^`(х)

3. Найдите критические точки

4. Найдите промежутки возрастания и убывания

5. Найдите экстремумы функции

4. Проверка домашнего задания

Как писал А.Н. Крылов, «рано или поздно всякая математическая идея находит применение в том или ином деле».

Человеку постоянно приходится решать задачи на управление различными процессами. Много задач выдвигают экономика, различные науки и повседневная жизнь. Каждый раз, когда такая задача встает перед человеком, он старается из всех возможных решений выбрать наилучшее, т.е. оптимальное. В этих поисках и помогает математика. Задачи на экстремумы-оптимумы разнообразны по своему содержанию, форме и приемам решения, но, несмотря на это разнообразие, их объединяет одна особенность - поиск наиболее выгодного в определенных отношениях, наиболее экономичного, наименее трудоемкого, наиболее производительного. Этот поиск можно кратко назвать поиском наилучшего.

Вам были даны на дом задачи на экстремумы-оптимумы. Вы их решали, обсуждали в группах их решение, и должны были выбрать из всех самую интересную с практической точки зрения задачу. И теперь каждая группа представит нам решение своей задачи.

1 группа

Бригада рыболовов планировала выловить в определенный срок 3840ц рыбы, вылавливая ежедневно одно и то же количество центнеров рыбы. В течение этого срока был шторм, вследствие чего ежедневное плановое задание недовыполнялось на 20ц. однако, в остальные дни, кроме последнего, бригаде удавалось вылавливать на 20ц больше дневной нормы. В последний день рыбаки не вышли в море из-за сильного шторма. Какое максимальное количество центнеров рыбы могла выловить бригада в установленный срок при таких погодных условиях?

Решение: А(t) = + ; ы = 160 ; А(t) = 3500ц

2 группа

Некто нанял пароход для перевозки груза на расстояние в 1000 км. Он предлагает хозяину плату в размере 1500 золотых монет, но требует вернуть 9 золотых монет за каждый час пребывания парохода в пути. предполагается, что пароход будет двигаться с постоянной скоростью. При этом в конце пути хозяин обязан выплатить команде заработную плату в золотых монетах, количество которых должно равняться удесятеренной скорости движения парохода. Какое максимальное количество золотых монет может заработать хозяин парохода за этот рейс?

Решение: С(х) = 1500 - - 10х ; х = 30 км/ч ; С(х) = 900 монет

3 группа

Для конструкторского бюро строится комната в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из стен которого стеклянная, а остальные три из обычного материала. Высота комнаты должна равняться 4 м, а площадь пола 80 м². Известно, что1 м² стеклянной стены стоит 750 руб, а обычной - 500 руб. какова наименьшая общая стоимость (в рублях) постройки четырех стен комнаты?

Решение: S_бок = Р_осн ∙ Н; S(х) = 8(х + ); С(х) = 4х∙ 750 + 3∙4∙∙500; С(х) = 3000х + ; х = 4 ; С(х) 80000 руб.

5. Физминутка

Учащиеся встают с места, если согласны с утверждением, и сидят - если не согласны.

• В точке возрастания функции её производная больше нуля. (Верно).

• Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то в этой точке имеется экстремум!

• Производная произведения равна произведению производных. (Неверно).

• Наибольшее и наименьшее значения функции на некотором отрезке наблюдаются или в стационарных точках, или на концах отрезка. (Верно).

• Любая точка экстремума является критической точкой. (Верно).

Учитель выдает задания для самостоятельной работы, сообщая учащимся, что на ее выполнение отводится 15 минут.

6. Работа по группам (решение задач с параметрами) работа по локальной сети на ноутбуках с тестировщиками

Разноуровневая самостоятельная работа. (каждому ученику подобраны индивидуальные задания)

карточка № 1 (1 группа)

1. Найдите значение выражения: 7^1,2а ×7^-3,2а, при а = 1/2 А) 7 B) 1/7 C) 49 D)1/49 E)1

2. Найдите производную функции у(х) = 3х³ - 2х² + х - 1 в точке с абсциссой х₀ = 1

A) 9 B) 5 C) 4 D) 6 E)7

3. Укажите множество значений функции у = 3 cos(1/2х)

A) [-1/2; 1/2] B) (-¥; +¥) C) [-3: 3] D) (-1/2; ½) E) [-1: 1]

4. Найдите производную функции ¦(х) = (5 + х)ln x, при х > 0

5. Через точку графика функции у(х) = -1/2х² + 4х + 7 с абсциссой х₀ = 2 проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс. A) -1 B) 2 C) 6 D) 17 E) -2

6. Тело движется по прямой так, что расстояние S (в м) от него до точки М по этой прямой изменяется по закону S(t) = t⁴ + 1/3t³ - t² + 8. Чему будет равна мгновенная скорость (м/с) через 3 с после начала движения? A) 123 B) 111 C) 108 D) 121 E) 112

карточка № 2 (2 группа)

1. Найдите значение выражения: 9^5а ×9^-2а, при а = -1/6 A) 81 B) 2 C) 3 D) 9 E) 27

2. Найдите производную функции у(х) = 3х³ + 2х² + х + 1 в точке с абсциссой х₀ = -1 A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

3. Укажите множество значений функции у = 2^{х - 3} A) (3; +¥) B) (-¥; +¥) C) (0; +¥) D) (-¥; -3) E) (2; +¥)

4. Найдите производную функции у(х) = е^-3х + x²

A) у¢(х) = е^-3х + х²; B) у¢(х) = -3е^-3х + 2х; C) у¢(х) = 3е^-3х + 2х; D) у¢(х) = -3е^-х + 2х. E) у¢(х) = 3е^-3х + х²

5. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = 4х - х² в его точке с абсциссой х₀ = 1. A) 2 B) 3 C) 4 D) 1 E)-2

6. Материальная точка движется по закону х(t) = 0,25t³ - 3t² + 21t - 18 (х - перемещение в м, t - время в с). Через сколько секунд после начала движения ускорение точки будет равно 3 м/с²?

A) 6 B) 5 C) 3 D) 4 E) 2

карточка № 3 (3 группа)

1. Найдите значение выражения: 16^7а ×16^-5а, при а = 1/8 A) 256 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8

2. Найдите производную функции у(х) = х⁶ - х⁴ + 2х³ - х² - 34 в точке с абсциссой х₀ = -1 A) 6 B)-6 C) 18 D) 12 E) 8

3. Укажите множество значений функции у = sin 2х + 3

A) [1; 3] B) [2; 4] C) [0; 3] D) [-2; 2] E) (0; 3)

4. Найдите производную функции у(х) = (4х + 9)^-3 A) у¢(х) = -12(4х + 9)^-2; B) у¢(х) = -12(4х + 9)^-4; C) у¢(х) = -3(4х + 9)^-2; D) у¢(х) = -3(4х + 9)^-4. E ) у¢(х) = 12(4х + 9)^-4

5. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = 3х³ - 2х² + 5 в его точке с абсциссой х₀ = -3. A) 98 B) 69 C) 33 D) 93 E)63

6. Материальная точка движется по закону х(t) = 2t² - 2t + 6 (х - перемещение в метрах, t - время в с) Через сколько секунд после начала движения скорость точки будет равна 6 м/с?

A) 4 B) 2 C) 3 D) 8 E)5

Учащимся розданы листы с заданиями для устной работы, следующего содержания:

6 конверт

1. Найдите эскиз графика производной функции у = g¢ (х), если известно, что функция у = g(х) имеет единственный максимум

2. Тело движется прямолинейно по закону S(t) = 2t³ + 1/2t² - t. Вычислите скорость при t = 1.

A) 5 B) 7 C) 6 D) 9 E) 8

3. Зависимость пути S от времени движения выражается формулой S = gt²/2. Назовите формулу ускорения.

A) gt/2 B) gt C) 2gt D) g E)-g

4. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции наклонена к оси Ох под углом a, если ¦(х) = х²/8 + 2, tga = ½.

A) 2 B) 1 C) -1 D) Ö2/2 E)-2

5. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой у = -2х² + х в точке х₀ = -2.

A) 5 B) 6 C) -6 D) 9 E) 4

6. Найдите производную функции ¦(х) = (7 - х)ln х, при х > 0.

7. Найдите производную функции ¦(х) = (х - 4)е^х

A) (х - 5)е^хB) е^х + х(х - 4)е^{х - 1} C) е^хD) (х - 3)е^х E) (х - 4)е^х

8. Найдите производную функции у(х) = sin 3x + х³

A) у¢(х) = 3 cos 3х + 3х²; B) у¢(х) = -3 cos 3х + 3х²;

C) у¢(х) = 3 cos 3х + 3х²; D) у¢(х) = - cos 3х + 3х; E) у¢(х) = -3 cos 3х - 3х².

Работа с классом

Задачи. 1. Тело движется по закону S(t) = 3t³ - 12t² + t +47. Определите скорость в произвольный момент времени.

2. Материальная точка движется со скоростью v(t) =2t² - 3t. Найдите закон изменения пути от времени.

Таким образом, мы пришли к тому, что по производной искали саму функцию. Операцию, обратную дифференцированию, называют интегрированием. Этим мы будем заниматься на следующий учебный год.

Итог урока(консультанты групп анализируют работу группы, выставляют отметки, делают выводы об уроке)

Рефлекция:

1. Результатом своей личной работы считаю, что я ..

А. Разобрался в теории.

В. Научился решать задачи.

С. Повторил весь ранее изученный материал.

2. Что вам не хватало на уроке при решении задач?

А. Знаний. Б. Времени. С. Желания. Д. Решал нормально.

3. Кто оказывал вам помощь в преодолении трудностей на уроке?

А. Одноклассники. Б. Учитель.

С. Учебник. Д. Никто.

Я думаю, что вы поняли необходимость изучения темы «Производная » , увидели, как это может пригодиться на практике, и надеюсь, что знания, полученные в школе, пригодятся вам в жизни.

Спасибо за урок.

Работа каждого ученика группы оценивается в 1 балл за каждый правильный ответ, которого заносится в бланк ответов консультантом группы.