Программа элективных курсов по математике Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств

Программа элективных курсов

Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств

«Нестандартные методы решения нестандартных уравнений и неравенств»

(Программа и дидактические материалы элективного курса для профильной подготовки учащихся 10-11 классах по математике)

Профиль: социально-экономический;

профилирующий предмет: история и обществознание

Количество часов математики:

• алгебра 3 часа;

• геометрия 2 часа;

• элективный курс 1 час

Пояснительная записка

Профильное обучение займёт достойное место в общеобразовательной сфере и, как «средство дифференциации и индивидуализации обучения», позволит «более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, представит условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования» (из приказа Министерства образования России от 18.07.2002, №2783). Серьёзнейшим механизмом «Профильного образования»- являются элективные курсы, так называемые курсы по выбору, назначение которых - выявить средствами предмета математики направленности личности, её профессиональных интересов, а также углубить отдельные темы базовых общеобразовательных программ по математике.

Программа разработана она на основе государственной программы по математике для 5 - 11 классов курса и предназначена для повышения эффективности подготовки учащихся 10 - 11 классов к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа за курс полной средней школы и предусматривает их подготовку к дальнейшему математическому образованию. Наибольшие затруднения у учащихся вызывают решения так называемых нестандартных задач, которые занимают значительное место среди задач повышенной сложности в заданиях ЕГЭ и олимпиадах по математике.

К нестандартным обычно относят такие уравнения и неравенства, где традиционные алгоритмы не подходят. Во многих случаях решение таких уравнений и неравенств осуществляется на «функциональном уровне», т. е. с помощью графиков или за счет сопоставления некоторых свойств функций, содержащихся в левой и правой частях уравнения. Настоящий элективный курс призван помочь учащимся восполнить пробелы и поднять на более высокий уровень свою математическую подготовку по этой теме. Представленные методы и приемы решения нестандартных задач в этом курсе позволяет преодолеть инерцию мышления учащегося, развивает творческие способности, логическое мышление и исследовательские навыки; формирует умения использовать приобретённые знания в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей.

Материал элективного курса рассматривается параллельно с изучением соответствующих вопросов на уроках, на занятиях происходит систематизация знаний и углубление, как по содержанию, так и по практическому применению и методам обоснований, реализуются межпредметные связи. Таким образом, данный курс способствует лучшему усвоению базового и профильного курса математики, а также служит для внутрипрофильной дифференциации и построения индивидуального образовательного пути, для раскрытия основных закономерностей построения математической теории. Курс ориентирован не только на учащихся, обладающих достаточной математической подготовкой, проявляющих интерес к предмету и желающих углубить свои знания, умения и навыки, но и на тех учащихся, которые желают овладеть дополнительными знаниями по данной теме, хотя бы для успешной сдачи экзаменов.

Цели курса:

Вовлечение учащихся в исследовательскую деятельность, способствующую развитию логического мышления, интеллектуальных и коммуникативных качеств, необходимых для продолжения образования и для адекватной социальной адаптации учащихся в современном мире.

Задачи курса:

• Научить анализировать конкретные ситуации, замечать существенное, выявлять общее и делать выводы, переносить известные приемы в нестандартные ситуации, находить пути их решения;

• Развивать логическое и математическое мышление, алгоритмическую и вычислительную культуру учащихся;

• Развивать исследовательские навыки деятельности учащихся: составлять проекты, проводить эксперимент, работать с литературой, активно использовать Интернет, развивать письменную и речевую математическую культуру учащихся.

Требования к уровню подготовки учащихся:

• должны иметь элементарные умения и навыки решения задач обязательного и повышенного уровня сложности;

• точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач

• воспроизводить изученные понятия, алгоритмы решения задач с помощью нестандартных методов;

• анализировать и выбирать оптимальные способы решения нестандартных уравнений и неравенств;

• самостоятельно конструировать свои знания;

• самостоятельно выдвигать гипотезы, логически обосновывать суждения, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, принимать решения.

Формы организации учебных занятий.

Занятия организуются в форме уроков. Уроки проводятся в форме лекций, семинаров, конференций, практических работ. В течение всего курса проходит тренинг. В ходе изучения проводятся краткие теоретические опросы по знанию формул и основных понятий. Наряду с тренингом используется принцип беспрерывного повторения, что улучшает процесс запоминания и развивает потребность в творчестве. В ходе курса учащимся предлагаются различного типа сложности задачи. Для презентации своих творческих работ обучающиеся могут использовать домашние компьютеры или компьютер кабинета математики.

Типы учебных занятий:

• изучение и первичное закрепление новых знаний и способов решения уравнений и неравенств,

• закрепление знаний и умений и навыков;

• комплексное применение знаний и умений и навыков при решении уравнений и неравенств,

• обобщение и систематизация знаний,

• проверка и оценка знаний, умений и навыков решения нестандартных уравнений и неравенств.

Контроль знаний и умений.

Текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется в результате выполнения обучающимися самостоятельных и практических работ, а также, творческих проектов в виде презентаций. Две контрольные работы в форме решения заданий с развёрнутым ответом в конце каждого полугодия.

Место курса в системе профильной подготовки учащихся.

Курс ориентирован на профильную подготовку учащихся по математике. Он расширяет и углубляет базовый курс по математике, даёт учащимся возможность познакомиться и приобрести навыки применения нестандартных методов решения нестандартных задач. Вопросы, которые рассматриваются в данном элективном курсе, выходят за рамки обязательного изучения, но вместе с тем они тесно примыкают к основному курсу т.к. достаточно пронаблюдать уровень и содержания соответствующих ЕГЭ, для решения которых необходимы методы, рассматриваемые в данном элективном курсе. Поэтому курс будет не только способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, но и поможет оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.

Содержание курса

Тема 1. Введение в курс (2часа).

Понятие нестандартных задач и нестандартных методов решения. Классификация нестандартных методов решения: метод мажорант, метод монотонности, метод неотрицательности, применение производной, применение свойств синуса и косинуса, геометрический подход, применение области определения функций. Функция. Основные свойства функций Актуализация знаний по основным свойствам функций школьного курса: область существования функции, ограниченность функций, монотонность, знакопостоянство.

Привести пример из заданий ЕГЭ по математике:

В8.Найдите все значения , при каждом из которых выполняется соотношение:

. Если такихбольше одного, в ответе запишите максимальное из них.

Решение. . Замечаем, что в степени левой части неравенства и правой части встречается одинаковое выражение . Дальше, видно, что неравенство стандартными методами не решается, следовательно, надо смотреть на поведение функций слева и справа. Для этого в обеих частях попробовать выделить , что есть точный квадрат (всегда неотрицательный!).

Преобразуем неравенство:

(1)

Теперь все становится очевидным, поскольку убывающая функция достигает своего максимума при минимальной степени т.е. при =-2 ()

А функция не может быть меньше 9 и равно 9 только при =-2

при любых .

Функция - убывающая, тогда =9, (2)

а функция ≥9 при любых (3)

Из равенств (1),(2) и (3) следует, что

9≥≥≥9 при любых

Ответ =-2

Для самостоятельной работы:

Решите уравнение:

1.

2.

3. (

Тема 2. Метод мажорант (метод оценки ограниченности функций (5часов).

Понятие метода мажорант и основной идеи этого метода. Рассматривается метод, когда на общей части областей существования функций, находящихся в левой и правой части, каждая из них ограничена слева или справа одним и тем же числом.

Наиболее результативным данный метод является при решении уравнений, в состав которых входят функции, области значений которых ограничены:

y = sin x; y = cos x; y = arccos x; y = arcsin x; y = | x |; y =; y =

Пусть мы имеем уравнение и существует число М, такое, что для любого x из области определения и и . Тогда уравнение , Число M называется мажорантой.

Пример 1. Решите уравнение:

.

Решение.

ОДЗ: ,

Оценим левую часть уравнения:

Оценим правую часть уравнения:

Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна правой части, только если обе части одновременно равняются 3.

Решая второй уравнение, получаем х=0.

Ответ:

Пример 2. Решите уравнение

Равенство достигается, если

(1):

Подставив найденные значения x в уравнение (2), получим:

-решение системы.

Ответ

Пример3. Решить уравнение:

Оценим:

Правая часть:

(1): - решение системы, а значит, исходного уравнения.

Пример 4. Решите уравнение:

.

Решение.

Запишем ОДЗ:

.

Можно утверждать, что .

Запишем уравнение в таком виде:

.

Оценим левую и правую части уравнения (*):

Т. о., исходное уравнение равносильно системе:

Ответ: (0;1).

Пример 5. Решить неравенство:

Решение. Оценим снизу левую часть неравенства. Так как , то .

Правую часть сверху: . Из этих двух последних неравенств, следует, что данное неравенство может иметь место только в случае , когда одновременно выполняются условия и . Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений:

Общие корни этих уравнений можно найти, составив и решив уравнение

в целых числах. Это уравнение перепишем в виде 1+4n=5k, или

k-1=4(n-k). Отсюда следует, что л-1 должно быть кратным 4, т.е. k-1=4m,где mZ. Итак, имеем:k=4m+1, где mZ, откуда x=, где mZ.

Ответ. x= , где mZ.

Пример 6. Решить неравенство:

Пример 6. Решить уравнение:

Рассмотрим функции:

E(f) = [-1; 1]

E(g) = [1; +∞]E(f) = { 1 }Отсюда: данное уравнение равносильно системе:

Решим I уравнение системы:

nZ

, nZ

, nZ

Решим II уравнение системы:

Отсюда: решением системы, а значит и данного уравнения является x = 2

Ответ: 2.

Задания для самостоятельной работы:

Решите уравнения и неравенства:

Тема 3. Использование метода монотонности для решения нестандартных уравнений и неравенств (5часов).

Повторение промежутков монотонности показательных, логарифмических, тригонометрических, Рассматривается метод, когда в левой и правой части уравнения находятся разные по монотонности функции.

Теоремы о монотонности функций, их связь с решением уравнения. Алгоритм решения с помощью метода монотонности.

Если y=f(x) - монотонная функция, то уравнение f(x) = c имеет не более одного корня

Пусть функция y=f(x) возрастает на промежутке М, а функция y=g(x) убывает на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=g(x) имеет на промежутке М не более одного корня.

Пусть область определения функции f(t) есть промежуток М, и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна (т.е. возрастает или убывает) на этом промежутке. Тогда уравнение равносильно системе:

При решении уравнений вида полезна следующая теорема: Если

Монотонно возрастающая (убывающая) функция, уравнения и эквивалентны.

Пример 1. Решите уравнение:

Решение.- возрастающая функция (как сумма возрастающих функций).

В правой части уравнения - постоянная. В силу теоремы о корне, уравнение имеет не более одного решения. Очевидно, что =2 - корень.

Ответ: =2.

Пример 2. Решите уравнение

Пусть . Тогда и заданное уравнение можно переписать в виде , откуда это уравнение имеет очевидный корень t=2, но утверждать, что это единственный корень нельзя. Разделим обе части последнего уравнения на выражение , получим , где левая часть уравнения убывает, а правая часть - возрастает. Значит, t=2- единственный корень уравнения.

Поскольку , то находим =9 - единственный корень исходного уравнения.

Ответ =9

Пример 3. Решите уравнение = -1

Функция y= убывает на всей области определения (≤7), а функция y=-1-возрастает при любых . Тогда данное уравнение = -1 имеет единственное решение, методом подбора находим =3

Ответ =3

Пример 4. Решите неравенство: <7.

Функция возрастает на R как сумма двух возрастающих функций. Легко видеть, что =0 - единственный корень уравнения 7. Следовательно, неравенство <7 удовлетворяется при <0

Пример5. Решите уравнение:

Решение.

ОДЗ:

- возрастающая функция (как сумма возрастающих функций).

Найдем подбором корень, =1. В силу теоремы о корне, имеем, что он единственный.

Ответ: =1.

Задания для самостоятельного решения

Решите уравнения:

1. .

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 3 + 2=5

17. 

18. Найти наименьшее значение функции y= на отрезке

19. Найти наибольшее значение функции y= на отрезке

20. Найти наибольшее значение функции y= на отрезке

21. Решите неравенство <

22. Решите неравенство log_0,5sin(-1)

23. Решите неравенство log₅(²+1)(+1)1

24. Решите неравенство

Тема 4. Использование области определения функций при решении уравнений и неравенств(4 часа)

Рассматривается метод, когда при рассмотрении уравнения или неравенства выясняется, что обе его части определены на некотором множестве, состоящем из одного или нескольких чисел.

Этот метод наиболее результативен при решении уравнений и неравенств, в состав которых входят функции y =; y =; y=; y = .

При решении уравнения или неравенства перенести все члены в левую часть и рассмотреть функцию f (x). Найти её область определения Д (f). При этом:

1). Если Д (f) = , то уравнение или неравенство решений не имеют.

2). Если Д (f) = {а₁; а₂; а₃…..а_n}, то действительные решения данного уравнения и неравенства находятся среди чисел а₁; а₂; а₃…..а_n. Теперь необходимо проверить, какие из данных чисел являются решениями уравнения или неравенства.

3). Если Д (f) = [а; в], то нужно проверить верно ли уравнение или неравенство на концах промежутка и в каждом промежутке, причём, если a < 0, а в > 0, то необходима проверка на промежутках (а; 0) и [0; в).

Пример 1. Решите уравнение:

.

Решение.

Выпишем условия, при которых выражения, входящие в левую часть данного уравнения, имеют смысл:

Система решений не имеет. Поэтому и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Пример2. Решите уравнение:

Решение.

Найдем область определения уравнения:

Подставив эти значения в уравнение, убеждаемся, что они его удовлетворяют.

Ответ: -9, 9.

Пример3. Решите уравнение:

Решение.

Рассмотрим функцию Найдем ее область определения:

Итак, левая часть уравнения имеет смысл только при х=1. Но при х=1 , значит, данное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 4. Решить уравнение: +=0

Решение. Рассмотрим функцию: +

Д(f): - 3 ≥ 0

6 - 2х ≥ 0

≥ 3

-2х ≥ -6

≥ 3

≤ 3

= 3

Отсюда: = 3 может являться корнем данного уравнения.

Проверим это:

Если = 3, то + = 0 - верно

Значит: уравнение имеет один корень = 3

Ответ: 3.

Пример 5. Решить неравенство: +

Решение +

Рассмотрим функцию: у = +

Д(у): - 1 ≥ 0

≠ 0

≥ 1

Проверим, является ли данное множество решением неравенства.

Если = 1, то неравенство +>1 - верно.

Если > 1, то >0; >0; .

Значит неравенство: - верно при х > 1

Отсюда, решением данного неравенства является множество х [1; +).

Ответ: [1; +).

Пример 6. Решить неравенство:

Решение.

Рассмотрим функцию: у =

Д(у): sin (х - 1) ≠ 0

5х - х² - 4 ≥ 0

Решим второе неравенство системы:

5х - х² - 4 ≥ 0

х²-5х + 4 ≤ 0

х₁ = 4 х₂ = 1

1 ≤ ≤ 4

Если = 1, то sin ( - 1) ≠ 0 - неверно.

Значит, функция у определена при всех х, принадлежащих промежутку (1; 4].

Проверим, является ли данное множество решением неравенства.

Если = 4, то данное неравенство верно.

Если (1; 4), то , так как сумма двух обратных чисел больше или равна 2 и

Отсюда: данное неравенство при х (1; 4) тоже верно.

Значит, решением данного неравенства является множество (1; 4].

Ответ: (1; 4].

Пример 7. Решить неравенство:

Решение.

Рассмотрим функцию:

Д(у): ≥ 0

+ 2 > 0

1 - x ≥ 0

x ≥ 0

x > - 2

≤ 1

0 ≤ ≤ 1

Решением данного неравенства может быть множество [0;1].

Проверим это.

Если = 1, то - неверно.

= 1 не является решением неравенства.

Если = 0, то - верно.

= 0 является решением неравенства.

Если (0;1), то данное неравенство верно.

Отсюда, решением данного неравенства является множество [0; 1).

Ответ: [0; 1).

Задания для самостоятельной работы:

Решите уравнения:

1. =

2. =

3. 

4. 3

Решите неравенства:

1.

2.

3.

4.

5.

6. (>4

7. <0

8. >

9. <

10. > +2

Тема 5. Использование свойств числовых неравенств (4 часа)

Формулировка и аналитическая запись основных теорем числовых неравенств:

; . Применение этих свойств при решении уравнений и неравенств.

Неравенство Коши. Пусть . Тогда имеет место

Причем равенство в неравенстве Коши достигается лишь в том случае, когда

Пример 1. Решите уравнение:

Решение.

Сделаем несколько оценок с помощью неравенства Коши.

Так как равенство имеет место при , отсюда =0.

Ответ: = 0

Пример 2. (оценка частей неравенства):

ОДЗ:

Т.к. неравенство выполняется при любых значениях, => ОДЗ: - любое число

Т.к. основание логарифма больше 1, неравенство равносильно неравенству:

Ответ: (-3; -1).

Пример3. Докажите неравенство

Доказательство:

Известно, что

(1)

прологарифмируем обе части неравенства (1) по основанию а. Т.к. а>1, то знак неравенства сохраняется, тогда:

Пример 4. Докажите неравенство >

Доказательство:

1. при n=3 неравенство очевидно (8>7)

2. предположим, что при n=k оно имеет место, т.е.

>

Действительно, учитывая, что при n=k+1 исходное неравенство имеет место, т.е. >, =>4k+2>2k+3

Откуда k>1/2, таким образом, исходное неравенство справедливо для всех натуральных .

Пример 5. Решите уравнение

Решение. Рассмотрим функции: и

1) g(x)= =( x +3)²+22

2) Пусть a=тогда

По свойству:

Из второго уравнения (x +3)²=0 следует, что x = -3 . А это число удовлетворяет первому уравнению и ОДЗ.

Ответ: -3.

Пример 6. Решите неравенство

Решение. Применяя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к левой части неравенства, получим:

Так как получим:

С учетом полученных результатов исходное уравнение равносильно системе:

Из второго уравнения следует, что:

Подставляя полученные значения в первое уравнение, получаем верные равенства. Отсюда следуетрешения исходного уравнения.

Ответ:

_{Задания для самостоятельной работы}

_{Решите уравнения и неравенства:}

1. 

2. 

3. 

4. log₂(1+ x ²)-2log₄ x + =0

5. (log₂3)+ (log₃2) = 2-cos²

6. 

7. 

8. 

9. 2+ 2= 2²

10. 

11. 3 + 3^2- = 3(1+cos2

12. (log₂3) + (log₃2) = 2-cos²

13. log₂(3+2-²)= tg²

14. 

15. 

16. 

17. 

Тема 6. Геометрическое решение алгебраических задач.(4 часа)

Геометрические интерпретации (иллюстрации) удобны и доступны для понимания подавляющего большинства учащихся, так как с их использованием алгебраическая задача перестаёт быть абстрактной и отвлечённой, а найденные решения в процессе их поиска становятся частью опыта учащегося. Геометрический образ откладывается в сознании и легко может быть актуализирован в аналогичной или даже незнакомой ситуации. Таким образом, формируется геометрическое мышление, т. е. развивается умение оперировать различными геометрическими объектами, интерпретировать алгебраические задачи геометрически. Это позволяет решать такие задачи, которые алгебраическими методами решать весьма затруднительно, если вообще возможно.

Пример 1. Решите систему уравнений

Решение.

Нетрудно убедиться, что и у - положительны.

Поскольку - являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника АВС прямым углом АСВ.

Ответ (10;6) (10;8)

Пример 2. Решите систему уравнений

Решение.

Рассмотрим слагаемые (2) уравнения.

Пусть это расстояние между точками М(х;у) и А(2;-1).

Пусть это расстояние между точками М(;у) и В(10;5).

Найдем расстояние между точками А и В.

Составим уравнение прямой АВ, проходящей через точки А(2;-1) и В(10;5).

Имеем новую систему:

Ответ: (6; 2).

Задания для самостоятельного решения

1. Решите систему неравенств

В ответе укажите всевозможные пары целочисленных значений.

2.При каких значениях параметра уравнение имеет ровно 3 корня.

3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых

множество решений неравенства

является отрезком длины меньше 1.

4. Найдите все значения параметра а, при которых данное уравнение

имеет три решения.

5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых

общие решения неравенств и содержат только

одно целое число.

6.Найдите все положительные значения параметра а, при которых область определения функции содержит ровно два целых числа, если

7.Найдите все значения переменной , при каждом из которых неравенство

верно хотя бы при одном значении параметра а из промежутка

[3; 6].

8. Найти все значения параметра а, при которых выражение

больше выражения при любом значении х, принадлежащем промежутку

(2, 5)

9. Найдите все значения параметра , при каждом из которых график функции пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках.

10. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет единственное решение.

11. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно 3 различных корня.

12.Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет единственное решение.

13.Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет единственное решение.

14. Решить уравнение: .

Тема 7. Применение производной при решении уравнений и неравенств (4 часа)

При решении уравнений или неравенств часто бывает необходимо доказать монотонность (возрастание или убывание) функций, входящих в уравнение или неравенство. Возрастание и убывание функций удобно доказывать с помощью производной.

Пример 1. Решите уравнение:

.

Решение.

ОДЗ:

Рассмотрим правую часть уравнения. Введем функцию у =. График функции парабола с вершиной А (3;2) и ветви направлены вверх. Наименьшее значение функции у(3)=2,

т.е. ≥2.

Введем функцию

С помощью производной найдем максимум функции, которая дифференцируема на

Решив первое уравнение системы, имеем =3.

Подставляя это значение во второе уравнение, убеждаемся, что =3-решение системы.

Ответ: =3.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение. О.Д.З.

Очевидно, что =0.

Рассмотрим функцию .

Возьмем от нее производную:

.

Все слагаемые в правой части производной положительны при всех допустимых значениях х. Значит, при любых допустимых значениях >0, т. е. f(x)- возрастающая функция.

По теореме о корне, уравнение имеет не более одного решения. Корень =0 - единственный.

Ответ: =0.

Пример 3. Решите неравенство 20⁷ + 28⁵ + 210 - 35sin2 >0

Рассмотрим функцию 20⁷ + 28⁵ + 210 - 35sin2.Она определена на всей числовой прямой имеет производную: , причем >0 , следовательно, возрастает на всей области определения. Тогда уравнение имеет не более одного корня. Легко заметить, что таким корнем является число =0. Т.к. функция непрерывна и возрастающая, то решением исходного неравенства является .

Пример 4. Найти количество решений уравнения: ³ - ² - + 0,1 = 0

Рассмотрим функцию ³ - ² - + 0,1;

>0 на , следовательно, функция возрастает на этих промежутках.

<0 на тогда функция убывает на этом промежутке.

limlim³(1-

lim + , >0, <0 на каждом из интервалов

есть единственная точка, в которой (в силу непрерывности функции

уравнение имеет 3 корня.

Ответ: 3 корня.

Задания для самостоятельного решения

1.

2.Решите уравнение

3. Решите уравнение

4. Решить систему уравнений

5. Доказать, что уравнение имеет единственный корень, лежащий в интервале .

6. Доказать, что уравнение при , имеет не более одного действительного корня.

7. Решить уравнение .

8.Докажите, что данное уравнение имеет единственный корень

9. Докажите, что данное уравнение имеет единственный корень

10.Решите неравенство:

11. Решите неравенство:

12.Докажите неравенство:при

13.Докажите неравенство: при

14.Решите уравнение

15. Решите уравнение

Тема 8. Тригонометрическая подстановка при решении уравнений и неравенств. (4 часа)

Применение тригонометрической подстановки при решении алгебраических задач направлено на установление взаимосвязи различных разделов математики, а именно: алгебры и тригонометрии. Важно воспитать у учащихся смелости и находчивости в поиске способов решения задач не только в ближайшем окружении условия, но и в более широкой, иногда неожиданной области. Тригонометрическая подстановка является одним из способов реализации метода замены переменной и используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область. Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем или алгебраического выражения, которое требуется упростить.

Если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной определяются неравенством , то удобны замены или .

Пример 1. Решите уравнение

Решение. Так как , то . Поэтому можно положить . Уравнение примет вид

.

Положим , где , тогда

.

.

.

Ответ: .

Алгебраическое решение

.

Так как , то . Значит, , поэтому можно раскрыть модуль

.

Ответ: .

Пример 2. Решите уравнение

[14].

Область определения уравнения задается неравенством , что равносильно условию , тогда . Поэтому можно положить . Уравнение примет вид

.

Так как , то . Раскроем внутренний модуль

.

Положим , тогда

.

Условию удовлетворяют два значения и .

.

.

Ответ: .

Пример 5. Решить уравнение

Так как переменная может принимать любые действительные значения, можно положить . Уравнение примет вид

.

В силу того, что , можно раскрыть модуль

.

Так как , то .

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение .

Пусть , тогда уравнение перепишется в виде

.

Введем замену , получим

.

Корни этого уравнения:

.

Два последних значения меньше нуля, поэтому нам подходит только . Перейдем к переменной , а затем к переменной

.

Ответ: .

Пример 4. Доказать, что

При неравенство верное.

Решение. Для любых найдется угол , что . Исходное неравенство примет вид

.

Так как , то . Умножим обе части неравенства на , получим

.

Второй множитель всегда положительный, а первый не превосходит 0, поэтому все произведение не положительно.

Пример 5. При каких значениях а неравенство имеет решение.

Решение. Неравенство имеет решение при а большем наименьшего значения выражения .

Положим , тогда

, где .

Оценим выражение

.

Наименьшее значение выражения равно . Значит, при неравенство имеет решение.

Ответ: при неравенство имеет решение.

Задания для самостоятельной работы

1. Решить уравнение .

2. Выяснить, сколько корней имеет уравнение .

3. 3. Решите уравнение .

4. Решите уравнение .

5. Решите уравнение .

6. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения в области .

7. Сколько корней имеет уравнение

8. Решить уравнение .

9. Решить уравнение

10. Решить уравнение

11. Решить уравнение .

12. Решите уравнение .

13. Решить уравнение .

14. Решить уравнение .

15. Решить уравнение .

16. Решить уравнение .

17. Решить уравнение .

Тема 11. Обобщающее повторение курса.(2 часа)

Повторение изученных нестандартных методов, алгоритмов решения задач с помощью этих методов. Решение задач с применением всех методов в комплексе.

Учебно-тематический план

№

Наименование тем курса

Всего часов

В том числе

Форма контроля

Лекц.

Практ.

Семин

1

Введение в курс

2

1

1

Тест

2

Метод мажорант

5

2

2

1

Самостоятель.

работа

3

Использование метода монотонности для решения нестандартных уравнений и неравенств

5

2

3

Практикум

4.

Использование области определения функций при решении уравнений и неравенств

4

1

2

1

Контрольная работа

5.

Использование свойств числовых неравенств

4

1

2

1

6.

Геометрическое решение алгебраических задач.

4

1

3

Самостоятель.

работа

7.

Применение производной при решении уравнений и неравенств

4

1

2

1

8.

Тригонометрическая подстановка

4

1

2

1

Самостоятельная работа

9.

Обобщающее повторение

2

2

Контрольная работа

Контрольная работа№1 за 1 полугодие

Решить уравнение:

1.

2.

3.

4.

5.

Ответы 1. 0,25 2. 2 3. 4 4. -2; -1,5; -0,5 ; 0,5 ;1,5; 2 5. 0

Самостоятельная работа

I Вариант

1. Решить уравнение

2. Решите уравнение

3. Решите неравенство

4. Решите неравенство:

5. 

Ответы: 1. 2. 0 3. 2 4.(1;+ 5. (0;2)

II Вариант

1. Решить уравнение

2. Решите уравнение

3. Решите неравенство .

4. Решите неравенство

5. Решите неравенство е

Ответы: 1. 0,5 2. 3. 2 4.(1;+ 5. .(0;+

Итоговая контрольная работа

Вариант 1

1.Решите уравнение:

2. Решите уравнение

3.Решите уравнение

4.Решите неравенство:при любом

5.Найти все значения параметра ,для которых неравенство имеет хотя бы одно решение.

Вариант 2

1.Решите уравнение:

2. Решите уравнение

3.Решите уравнение

4.Решите неравенство: при любом

5.Найти все значения параметра, для которых уравнение имеет единственное решение.

Тест по теме «Применение свойств числовых неравенств».

Вариант 1.

1. Решить уравнения:

1. 2^x+ 2^-x= 2cos²

a) -2 б) 1 в) 3 г) 0

2. log₂(3+2x-x²)=tg²

a) 0 б) 1 в) -1 г)2

3. 2sin(x+

a) б) - в) г) -

4. (log₂3)^x + (log₃2)^x = 2-cos²

a) 1 б) 0 в) 3 г)-1

5)

а) б) в) решений нет г)

2. Решить неравенства:

6)

а) нет решений б) -1 в) 0 г) 1

7)

а) - б) решений нет в) г)

8)

а) б) в) г) решений нет

Тест по теме «Применение свойств числовых неравенств».

Вариант 2.

1. Решить уравнения:

1. 3^x+ 3^2-x = 3(1+cos2

a) -1 б) 1 в) 2 г) решений нет

2) log₃ (8+2x-x²) = 2^x-1 + 2^1-x

a) 0 б) -1 в) 2 г) 1

3) 2^-cosx=

а) - б) в) 1 г)2

4)

а) 0 б) решений нет в) 1 г)-1

5. tg²x + ctg²x = 2sin²

a) решений нет б) в) г)

2. Решить неравенства:

6)

а) -1 б) -1;0 в) решений нет г) 0

7)

а) решений нет б) в) г)

8)

а) б) в) г) решений нет

Ответы

1вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

г

б

а

б

в

г

в

а

2 вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

б

г

б

а

г

б

в

а

Использованная литература

1. Олехник С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: Справочник / С. Н. Олехник, М. К. Потапов, П. И. Пасиченко. - М.: Изд-во МГУ, 1991. - С. 143

2. Бродский Я.С., Слипенко А.К. Производная и интеграл в неравенствах, уравнениях, тождествах. - К., Выща школа, 1988. - 120с.

3. Дорофеев Г.М. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. - 1980. - №5 - с. 12-21, №6 - с. 24-30.

4. Петров В. В. Нестандартные задачи / В. В. Петров, Е. В. Елисеева // Математика в школе. - №8. - 2001. - С. 56-59.

5. Морозова Е. А. Международные математические олимпиады. Задачи, итоги, решения. Пособие для учащихся / Е. А. Морозова. - М.: Просвещение, 1976. - С. 288.

6. Мерзляк А. Г. Неожиданный шаг или сто тринадцать красивых задач / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. - Киев: Агрофирма Александрия, 1993. - С. 59.

7. Дорофеев Г. В. Пособие по математике для поступающих в вузы. Избранные вопросы элементарной математики / Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов. - М.: Просвещение, 1976. - С. 640.

8. Горнштейн П. И. Тригонометрия помогает алгебре / П. И. Горнштейн. - М.: Бюро Квантум, 1995. - С. 100-103. - Приложение к ж. «Квант», №3/95.

9. Вороной А. Н. Пять способов доказательства одного неравенства / А. Н. Вороной // Математика в школе. - №4. - 2000. - С. 12.

10. Алгебра и математический анализ. 11 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. - М.: Мнемозина, 2001. - С. 288.

11. Б.М. Ивлев, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин, С.И. Шварцбурд Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа для учащихся 10-11 классов средней школы М.: Просвещение, 1976. - С. 47.

12. Денищева Л. О., Карюхина Н. В., Михеева Т. Ф. ''Учимся решать ур-я и нер-ва'', 10-11 кл.; Интеллект-центр, М., 2002

13. В. В. Ткачук ''Математика абитуриенту'', М., Изд-во МЦНМО, 2006г.

14. П. И. Самсонов ''Четыре месяца до выпускного экзамена'', М., ''Школьная пресса'', 2003г.

15. С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. ''Алгебра и начала анализа'', учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений, М., ''Просвещение'', 2006г.

16. Е. В. Галкин "Нестандартные задачи по математике", учебное пособие для учащихся 7-11 кл. Алгебра, Челябинск, "Взгляд", 2004г.

17. А. А. Максютин "Математика-10", Самара, 2002

18. C. Г. Молчанов, Р. Я. Симонян "Предпрофильное и профильное образование", Изд. Дом "Фёдоров", Изд-во "Учебная лит-ра", 2006г.

19. Г. И. Ковалёва, Т. И. Бузумная и др., Математика, тренировочные тематические задания повышенной сложности, Волгоград, Изд-во "Учитель", 2007г.

20. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы, алгебра. Под редакцией М. И. Сканави, М., ОНИКС, 21 век, 2002г.

21. Мат-ка ЕГЭ-2007, вступит. Экзамены, изд-во "Экзамен", М., 2005, 2007 г. г.

22. Т. А. Корешкова, Ю. А. Гладков и др., Математика ЕГЭ, Изд-во "Экзамен", М., 2005, 2007 г.

23. С. Н. Богданов, Е. А. Богданова, Г. А. Клековкин, Ю. Н. Неценко, Т. П. Шаповалова "Тренировочные материалы для подготовки К ЕГЭ по мат-ке 2004, Самара, 2004г., 2005г."

24. Федеральный центр тестирования, ЕГЭ-2006г., М., ФГУ, 2006г.

25. Л. О. Денищева, Глазков Ю. А. и др. "ЕГЭ-2007", Математика, М., изд-во Интеллект-центр, 2007