- Преподавателю
- Математика
- Сообщение по математике на тему Евклидова геометрия
Сообщение по математике на тему Евклидова геометрия
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Уильямс М.(. |
Дата | 13.05.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Нет |
Евклидова геометрия
Евклидова геометрия (или элементарная геометрия) - геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.).
Основные сведения
Элементарная геометрия - геометрия, определяемая в основном группой перемещений (изометрий) и группой подобия. Однако содержание элементарной геометрии не исчерпывается указанными преобразованиями. Так, к элементарной геометрии также относят преобразование инверсии, вопросы сферической геометрии, элементы геометрических построений, теорию измерения геометрических величин и другие вопросы.
Элементарную геометрию часто называют евклидовой геометрией, так как первоначальное и систематическое её изложение, хотя и недостаточно строгое, было в «Началах» Евклида. Первая строгая аксиоматика элементарной геометрии была дана Гильбертом. Элементарная геометрия изучается в средней общеобразовательной школе.
Аксиоматика
Проблема полной аксиоматизации элементарной геометрии - одна из проблем геометрии, возникшая в Древней Греции в связи с критикой этой первой попытки построить полную систему аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей.
В «Началах» Евклида была дана следующая аксиоматика:
-
От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
-
Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
-
Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
-
Все прямые углы равны между собой.
-
Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Исследование системы аксиом Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту.
В 1899 году Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем, Шуром, Пеано, Веронезе, однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным.
Существуют и другие современные аксиоматики, наиболее известные:
-
аксиоматика Тарского;
-
аксиоматика Биргофа, содержащая всего 4 аксиомы, но использующая вещественные числа как готовое понятие.