Математика тесты и задачи

Логика - наука о законах и формах мышления. Стройный ход рассуждений, где каждое последующее умозаключение исходит из предыдущего. Замечательные сказки Льюиса Кэрролла «Алиса в Стране Чудес» и «Алиса в Зазеркалье» прекрасно демонстрируют своеобразную логику.

Рассуждать логически мы учимся с самого раннего детства, отгадывая загадки. К сожалению, многие люди на том и останавливаются, и совершенно напрасно. Совершенствовать свою логику не только очень увлекательно, но и крайне полезно. Литературный герой, придуманный Артуром Конан Дойлом, Ш.Холмс пользуется дедуктивным методом, основанным на логических рассуждениях, для раскрытия преступлений.

Предлагаю порассуждать: представьте себе, что перед Вами двое совершенно неотличимых близнецов. Один всегда лжет, другой всегда говорит правду. Одного зовут Джон, а имя другого неизвестно. Кто лжет, а кто говорит правду Джон или не Джон неизвестно. Предположим, Вы хотите узнать у них: кто же из них Джон? Вам разрешается задать каждому близнецу только один вопрос, на который они могут дать односложный ответ: «да» или «нет». Какой вопрос Вы бы задали? Интересно? Попробуйте! Это же так интересно!

Понятие логики. Цели и задачи

Если теория алгоритмов - в некотором смысле мать современных ЭВМ и программирования, то логика - их отец.

Умение рассуждать, логически мыслить, давать ответы на поставленные вопросы играет очень важную роль в жизни человека. Выделение логических задач носит до некоторой степени условный характер. Трудно определить, какую задачу следует назвать логической. Кажется, любая задача является таковой, так как для ее решения требуются определенные логические рассуждения. И это верно, но всё же по традиции для тренировки именно логического мышления человеком придумано множество задач, в которых речь идет об объектах, вообще говоря, произвольной природы. Именно такими задачами и правилами их решения мы и займемся в этой главе.

Но какое отношение логика имеет к вычислительной технике и программированию?

Оказывается, самое непосредственное. Именно логика является теоретической основой современных ЭВМ и сложных управляющих систем. Она приобретает важное прикладное значение - особенно в области разработки специальных языков для баз данных и представления знаний. Используя методы и средства логической науки, ученые разрабатывают эффективные языки программирования.

Например, основой так называемого доказательного программирования являетсяформальная логика. Общая идея здесь, как говорится, лежит на поверхности: если можно конструктивно, используя интуицию, доказать, что существуют объекты, удовлетворяющие некоторому данному условию, то, построив доказательство, можно построить по нему и программу вычисления соответствующего условия (функции).

Опять же, в основе так называемого логического программирования лежат структуры логических доказательств.

Но особое значение логическая наука стала приобретать в вопросах, касающихся проблемы искусственного интеллекта. Именно здесь разработчикам пришлось создать новую область логических исследований - логический анализ. Попытаемся очертить лишь некоторые контуры этого нового, перспективного, развивающегося направления.

Искусственный интеллект предполагает различные типы рассуждений. Они могут быть обычными или монотонными, но обязательно предполагают добавление новой информации. Логический анализ предполагает, что новая информация не отменяет, не делает неверными следствия, полученные ранее. Однако в практике рассуждений мы нередко допускаем некоторую полноту исходной информации. Добавление новой информации к исходной отменяет это допущение, и то, что ранее принималось как следствие, может не быть таковым при дополнительной информации. Такой логический анализ называют очерчиванием. Читая эти строки, вы наверняка ничего не поняли. Но мы привели это объяснение из области проблемы искусственного интеллекта умышленно, чтобы читатель почувствовал, что проблема эта достаточно трудная. В ней много нерешенных вопросов, которые предстоит разработать в будущем.

Логика и математика

ЛОГИКА - это наука правильно рассуждать, наука о формах и законах человеческого мышления.

Логика - наука древняя. Её основоположником считают древнегреческого мыслителя Аристотеля, жившего в 384-322 годах до н.э. Именно он подверг анализу человеческое мышление, такие его формы, как понятие, суждение, умозаключение, и рассмотрел мышление со стороны строения, структуры, то есть с формальной стороны. Так возникла формальная логика - наука, пытавшаяся найти ответ на вопрос, как мы рассуждаем, изучающая логические операции и правила мышления.

Ко времени зарождения логики математика уже прошла значительный путь развития. В течение многих веков логика помогала математике стать строгой, последовательной наукой. Постепенно взаимная связь между математикой и логикой привела к тому, что логика оказалась под влиянием математики.

После падения античной цивилизации развитие математики, и особенно логики, замедлилось, потому что новые логические идеи нередко вступали в противоречие с формами мышления церкви. Любопытно отметить: первое, что было восстановлено из античной науки, - это именно логика Аристотеля.

Если обратиться к эпохе Возрождения, к истокам науки нового времени, нетрудно установить, что и в этом чае первыми восстанавливались и использовались именно разработанные в античности логические методы. С этого начиналась философия и математика Рене Декарта (1596-1650). Он считал, что человеческий разум может постигнуть истину, если будет исходить из достоверных положений, сводить сложные идеи к простым, переходить от известного и доказанного к неизвестному, избегая каких-либо пропусков в логических звеньях исследований. Фактически Декарт рекомендовал науке о мышлении - логике - руководствоваться общепринятыми в математике принципами.

Основоположником математической логики считают великого немецкого математика и философа Вильгельма Лейбница. Это он в XVII веке пытался построить первыелогические исчисления: арифметические и буквенно-алгебраические. Это он впервые высказал мысль о возможности применения двоичной системы счисления в вычислительной математике.

Но этим идеям Лейбница суждено было получить дальнейшее развитие лишь в середине XIX века в трудах другого великого математика Джорджа Буля, отца писательницы Э.Войнич - автора романа "Овод". Он вывел для логических построений особую алгебру (алгебру логики). В отличие от обычной, в ней символами обозначают не числа, а высказывания.

ГЛАВНАЯ ЗАДАЧА ЛОГИКИ состоит в том, чтобы ВЫЯВИТЬ, какие способы рассуждения правильные, а какие нет.

Для иллюстрации сказанного приведем задачу, в которой используется неправильный способ рассуждения.

Трое фермеров, приехав в районный центр, решили сообща пообедать. Когда они закончили с обедом, буфетчица сказала, что с них причитается 30 долларов.
Каждый из обедавших достал 10 долларов, и они рассчитались. Когда фермеры были уже у выхода, буфетчица сообразила, что обсчитала их на 5 долларов. Тогда она позвала своего сынишку, который вертелся тут же, и сказала:
- Видишь тех трех мужчин? Догони их и верни им эти деньги. - И дала ему три бумажки по 1 доллару и одну двухдолларовую.
Смышленый парнишка, наблюдавший, как фермеры расплачивались, быстро смекнул, что они никак не смогут поровну поделить на троих 5 долларов. Он отдал им только три по доллару, а двухдолларовую оставил себе. Фермеры разделили 3 доллара - каждому по доллару - и подсчитали, что обед им обошелся по 9 долларов с брата, а всего, следовательно, они израсходовали 27 долларов. Кроме того, как мы знаем, 2 доллара осталось у мальчика. Всего получается 29 долларов. Но ведь они отдали буфетчице 30 долларов.
Куда пропал 1 доллар?

Мы предлагаем читателю самостоятельно разобраться в предложенной задаче. Приведем еще примеры.

Существует предание, что Александрийскую библиотеку сжег калиф Омар. Но прежде чем сжечь ее, он обосновал свое деяние с помощью следующего рассуждения: "Если ваши книги согласны с кораном, то они вредны. Но вредные ими излишние книги следует уничтожить. Значит, ваши книги следует уничтожить".

Рассуждение есть переход от некоторых предложений, утверждений, называемых посылками, к утверждению, которое называется умозаключением. В приведенном примере первые три предложения являются посылками, четвертое - умозаключением.

Допустим, нас не интересует ни то, что в действительности не Омар сжег библиотеку, ни то, что он вообще так не рассуждал, ни истинность или ложность самого по себе заключения. Но зададимся вопросом, правильно ли, независимо от всего этого, само рассуждение. Как будет видно из дальнейшего, такое рассуждение с логической точки зрения совершенно правильно. Другое дело, что не истинны посылки, которые в нем используются. Но в данном случае нас интересует только правильность самого рассуждения, независимо от истинности посылок и заключения.

Возьмем еще пример. Предположим, некто строит следующее рассуждение: "Дикари раскрашивают свое тело. Некоторые современные женщины раскрашивают свое тело. Следовательно, некоторые современные женщины - дикари". Правильно ли это рассуждение?

Нетрудно установить, что данное рассуждение неправильно, несмотря на то, что используемые посылки и сделанное из них заключение можно признать истинными.

Итак, задача логики - описать и исследовать те способы рассуждений, которые являются правильными.

......................................................................................................................................

3. Прочитайте ребусы.

КО100ЧКА ПО100ВОЙ 40А

4. Вставьте пропущенное слово:

123452 ракета

321452 ?

5. Математические головоломки.

-Двумя двойками изобразите 0 .

-Пользуясь тремя цифрами 2. выразите число 2.

-Получите число 4 посредством двух цифр 2.

-Представьте число 6 с помощью трех двоек.

Ответы: 1. 0=2-2. 2. 2=2+2-2 или 2-2+2. 3. 4=2+2. 4. 6=2+2+2

3. Игра «Шесть цифр»

Гном Забывалка записал такой пример: 1 2 3 4 5 = 6 и не расставил в подходящих местах знаки сложения и вычитания. Исправь ошибки.

Ответ: 12 + 3 - 4 - 5 = 6

4. Игра «Забытые знаки»

В следующее равенство вставь забытые математические знаки:

1 2 3 = 4 5.

Ответ: 12 - 3 = 4 + 5

2. Вставь пропущенные числа и знаки:

5, 15, …, 35, 45,…;

15 + 5 * 2 = 25

15 + 5 * 4 = 35

15 + 5 + … = …

15 + 5 + … = …

15 + 5 + … = …

3. Задачи с единичками.

- Вырази число 22 четырьмя единицами.

- Изобразите число 6 пятью цифрами 1 .

- Напишите число 20 пятью цифрами 1.

- Двумя способами представьте число 23 пятью единицами.

- Напишите число 24 пятью единицами.

- Изобразите число 25 шестью цифрами 1.

- Выразите число 26 шестью единицами.

Ответы:

22 = 11 + 11

6 = (11 + 1) : (1 + 1)

20 = (11 - 1) * (1 + 1)

23 = 11 + 11 + 1

24 = (11 + 1) * (1 + 1)

25 = (11 + 1) * (1 +1)

26 = (11 + 1 + 1) * (1 + 1)

Материал к уроку 30.

1. Задачи с неполным условием.

Можно предложить ученикам самим придумать такие задачи и сыграть на уроке роль учителя, принимая вопросы класса и отвечал на них.

2. Логическая задача.

1) На вопрос матери о том, кто принес в дом котенка, дети отвечали так: Аня: Это сделал Лена.

Лена: Котенка принесла Таня.

Аня: Это не я.

Таня: Лена говорит неправду, сказав, что это сделала я. Мать знала, что только одна из них сказала правду. Кто же принесла котенка?

Ответ: Аня.

2) На вопрос учителя о том, кто разбил окно, ученики ответили так: Петя: «Окно разбил Толя, а не Дима», Дима сказал: «Окно разбил Петя или Толя», Толя сказал «Окно разбил Дима». Учитель знал, что один из трех учеников солгал. А двое сказали правду. Кто разбил окно?

Ответ: солгал Толя, он же разбил окно.

3. Задачи с двойками.

- Напишите число 1 тремя двойками.

- Изобразите число 13 посредством четырех двоек.

- Выразите число 23 пятью цифрами 2.

- Запишите число 33 посредством пяти двоек.

- Представьте число 40 путем использования четырех цифр 2.

- Изобразите число 50 с помощью пяти двоек.

- Выразите число 90 посредством пяти цифр 2 (без скобок).

Ответы:

1 = 2 - 2 : 2

13 = 22 : 2 + 2

23 = 22 + 2 - 2 : 2

33 = 22 + 22 : 2

40 = (22 - 2) * 2

50 = (22 + 2) * 2 + 2

90 = 2 * 2 * 22 + 2

1. Замени звездочки цифрами:

**** - 1 = ***

Ответ: 1000 - 1 = 999

2. Найди А и Б, если: А * Б = А и А + Б = 10, А и Б - цифры.

Ответ: А = 9, Б = 1

3. К однозначному числу приписали какую же цифру. Во сколько раз увеличилось число?

Ответ: в 11 раз

4. Напиши число 100 с помощью пяти единиц и знаков действий.

Ответ: 111 - 11 = 100

5. В записи 4 * 12 + 18 : 6 + 3 поставь скобки так, чтобы получилось 50.

Ответ: 4 * 12 + 18 : (6 + 3)

6. Между некоторыми цифрами 1 2 3 4 5 поставь знаки действий и скобки так, чтобы получилось 1.

Ответ: (1 + 23) : 4 - 5 = 1

(12 - 3) : (4 + 5) = 1

7. С помощью четырех цифр 5 составь выражение, значение которого равно 12.

Ответ: (55 + 5) : 5

(5 + 55) : 5

8. Как с помощью пяти цифр 5 и знаков действий записать число 100.

Ответ: (5 + 5 + 5 + 5) * 5 = 100

5*5*5 - 5*5 = 100

9. Укажите наибольшее двузначное число, которое делится на 4.

Ответ: 96

10. К числу 9 и справа и слева припиши одну и ту же цифру, чтобы полученное трехзначное число делилось на 7 нацело.

Ответ: надо приписать цифру «5», число 595 делится на 7.

11. В коробке синие, красные, зеленые карандаши - всего 20 штук. Синих карандашей в 6 раз больше, чем зеленых. Красных карандашей меньше, чем синих. Сколько красных карандашей в коробке?

Ответ: в коробке 6 карандашей. Если в коробке 1 зеленый карандаш, то синих 6, тогда красных 20 - (1 + 6) = 13, а 13>6, что не соответствует условию задачи. Если зеленых карандашей 2, то синих 2*6 = 12, а красных 20 - (2 + 12) = 6, 6<12- соответствует условию задачи.

12. Как с помощью двух бидонов ёмкостью 5 л и 8 л отлить из молочной цистерны 7 л молока?

Ответ: 1). Набрать 5 литровый бидон и перелить в 8 литровый

2). Повторить то же самое, тогда в 5 литровом бидоне останется 2 л

3). Вылить из 8 литрового бидона и перелить туда 2 л

4). Набрать 5 л и добавить в 8 литровый бидон к 2 л, 5 + 2 = 7

13. В квартирах № 1, 2, 3 жили три котёнка: белый, чёрный и рыжий. В квартирах № 1 и 2 жил не чёрный котёнок. Белый котёнок жил не квартире № 1. В какой квартире жил каждый котёнок?

Ответ: чёрный жил в квартире № 3

белый - в квартире № 2

рыжий - в квартире № 1.

Белый

Чёрный

Рыжий

2

3

1

14. Нарисуй прямоугольник с наибольшей площадью, сумма длин сторон которого равна 12 см.

Ответ: это квадрат со стороной 3 см.

15. Пирог прямоугольной формы двумя разрезами раздели на 4 части, так чтобы две из них были четырехугольной формы, а две другие - треугольной формы.

16. Нарисуй прямоугольник, площадь которого 12 см2 , а периметр 26 см.

Ответ: это прямоугольник со сторонами 12 см и 1 см, т. к. S = а*в,

Т. е. 12 * 1 =12 см2

17. Какое число надо подставить вместо «х» в уравнение 12 : х = 7 - х. Найди все эти числа.

Ответ: числа 3 и 4

18. На прямой взяли 4 точки. Сколько всего получилось отрезков, концами которых являются эти точки.

Ответ: всего 6 отрезков

19. Вини-Пуху подарили в день рождения бочонок с мёдом массой 7 кг. Когда Вини-Пух съел половину мёда, то бочонок с оставшимся мёдом стал иметь массу 4 кг. Сколько килограмм мёда было первоначально в бочонке?

Ответ: 6 кг

1). 7 - 4 = 3 (кг) масса половины мёда

2). 3 * 2 = 6 (кг) масса мёда первоначально.

20. К числу 37 припишите справа и слева одну и ту же цифру, такую, чтобы полученное четырёхзначное число разделилось на 6.

Ответ: 4

21. Квадрат состоит из 9 квадратов. Сколько всего квадратов на рисунке?

Ответ: всего 14 квадратов.

22. Коля, Боря, Вова, Юра заняли первые четыре места в соревнованиях. На вопрос, какие места они заняли, трое из них ответили:

Коля - ни первое, ни четвертое

Боря - второе

Вова - не был последним.

Кто какое место занял?

Ответ: Вова - первое, Боря - второе, Коля - третье, Юра - четвертое.

23. Имеются 2 сосуда: 3 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 4 л?

24. Число яблок в корзине - двузначное число. Яблоки можно разделить поровну между 2, 3, 5 детьми, но нельзя разделить поровну между 4 детьми. Сколько яблок в корзине?

Ответ: 30 яблок.

25. Запиши разными цифрами самое маленькое трехзначное число.

26. Догадайся, какая цифра заменена буквой А: 9А : 1А = А

27. Масса ящика с лимонами 25 кг. После продажи половины всех лимонов ящик поставили на весы. Весы показали 15 кг. Какова масса пустого ящика?

28. Периметр прямоугольника 16 см. Чему должны быть равны его стороны, чтобы площадь была наименьшей.

29. Проведи в квадрате две линии, так чтобы получились 3 треугольника и, чтобы один треугольник был с прямым углом.

30. Реши уравнение: х - 82 = 151 - 119

В той же решетке так уберите 6 спичек, не перекладывая остальных, чтобы осталось всего 3 квадрата.

Ответ:

Переложите одну спичку, чтобы равенство стало верным (это можно сделать двумя способами):

Из 18 спичек нужно сложить два четырехугольника так, чтобы площадь одного была больше площади другого в 3 раза. Спички, как и во всех предыдущих задачах, переламывать нельзя. Оба четырехугольника должны лежать обособленно, не примыкая друг к другу.

Из 12 спичек нужно составить фигуру, в которой было бы три одинаковых четырехугольника и два одинаковых треугольника. Как это сделать?

В фигуре, представленной на рисунке, нужно так переложить 6 спичек с одного места на другое, чтобы образовалась фигура, составленная из 6 одинаковых четырехугольников.

И наконец, в той же фигуре так уберите 8 спичек, не трогая остальных, чтобы осталось всего лишь 2 квадрата.

Из этой же фигуры так извлеките 8 спичек, не трогая других, чтобы оставшиеся спички составили 4 одинаковых квадрата.

Перед вами фигура, составленная из 17 спичек. Вы видите в ней 6 одинаковых квадратов. Задача состоит в следующем: нужно убрать 5 спичек, не перекладывая остальных, так, что осталось всего 3 квадрата.

Задача 1. Даны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Часть из них расставлена по клеткам Требуется расставить остальные числа, чтобы в сумме получалось 15. (слайд 4)

Находим необходимое число, вычитая из 15 сумму двух известных чисел, стоящих в одной строке, диагонали или столбце. Получаем следующий квадрат. (слайд 5)

Оказывается, все другие магические квадраты, составленные из этих же чисел, можно получить из данного симметрией относительно строки, столбца или диагонали, поэтому во всех квадратах числа расставлены по одним и тем же правилам. (слайд 6)

Можно заметить ряд закономерностей, облегчающих заполнение клеток квадрата или дающих возможность решить задачу при меньшем числе данных в условии.

Например, в условиях задач, подобных предыдущей, не обязательно указывать, какая сумма должна получиться в любом направлении.

Задача 2. Найдите способ, как сосчитать сумму по строчкам, столбцам и диагоналям из предыдущей задачи.

Можно рассуждать следующим образом: сумма чисел в каждой строке одинакова, таких строк 3, значит сумма чисел в каждой строке в три раза меньше суммы всех чисел. Следовательно, в нашем примере, сумма в каждой строке равна 15 (45 : 3). Но это число можно найти и другими способами: сложить три центральных числа 4, 5 и 6 или умножить центральное число 5 на 3.

Задача 3. Даны числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Требуется вписать их в клетки квадрата так, чтобы в любом направлении в сумме получилось одно и то же число. Часть чисел уже вписана в квадрат. (слайд 7)

Найдем вначале сумму чисел, которая будет получаться в строках и столбцах. Самый простой способ - умножить число 6 на 3, получим, что сумма равна 18.

Получаем следующий квадрат: (слайд 8)

Задача 4. Даны числа 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Два их них вписаны в клетки квадрата. Впишите остальные так, чтобы в любом направлении получилось в сумме одно и то же число. (слайд 9)

Найдем сумму: 9 × 3 = 27. Заполняем квадрат: (слайд 10)

Посмотрим на все три заполненных квадрата и попробуем найти еще ряд закономерностей, которые помогут заполнить квадрат еще с меньшим чисел, вписанных в квадрат.(слайд 11)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

Посмотрите, какое число стоит в центре квадрата? Как оно расположено в ряду данных чисел? (слайд 12) (В центре квадрата всегда записывается число, стоящее на пятом месте нашей последовательности, т. е. одинаково удаленное с левого и правого ее краев.)

Можно заметить еще ряд особенностей: в квадрате по разные стороны от центрального числа стоят числа, одинаково удаленные от левого и правого краев последовательности. Покажем пары соответствующих чисел на примере заполнения квадрата числами от 1 до 9: (слайд 13)

Зная это, можно заполнить квадрат, почти не считая.

Посмотрите, как расположены в квадрате числа, стоящие рядом с центральным, а также числа, записанные от них через одно число. Они соединены линиями сверху. (Они расположены по диагоналям квадрата.) А где расположены остальные числа, которые соединены линиями снизу? (Они расположены по вертикали и по горизонтали.)

Давайте проверим, выполняются ли такие закономерности в других квадратах. (слайд 14)

(Да, такие закономерности выполняются.)

Итак, давайте подведем итог. Какие свойства магических квадратов мы выяснили?

1) Чтобы найти сумму чисел в каждом столбце или строке, можно центральное число умножить на 3.

2) В центре квадрата стоит число, записанное в ряду пятым.

3) В квадрате по разные стороны от центрального числа стоят числа, одинаково удаленные от левого и правого краев последовательности.

4) Числа, стоящие рядом с центральным и через одно от него, расположены по диагоналям квадрата. Числа, стоящие с краю и через одно от него, расположены в квадрате по вертикали и по горизонтали.

Задача 5. Даны числа: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Впишите их в клетки квадрата так, чтобы в любом направлении получилось одно и то же число. (слайд 15)

(Найдем, какая сумма должна получаться в каждом направлении. Для этого умножим центральное число 7 на 3. В результате получим 21. В центр квадрата поставим число 7, по одной диагонали числа 6 и 8, по другой - 4 и 10. Осталось расставить недостающие числа: сумма записанных в первой строке чисел равна 10, до 21 недостает 11, значит, в пустой клетке верхней строки запишем число 11 (первое справа). Тогда в нижней строке запишем число 3 (первое слева). В левый столбик запишем число 5 (21 - (6 + 10)), тогда в правом столбике останется записать число 9. Таким образом, мы расставили все 9 чисел в клетки магического квадрата, при этом ни одно число по условию задачи в квадрате не было поставлено.)

Задача имеет несколько решений, но все квадраты получаются из других симметрией относительно средних линий или диагонали. (слайд 16)

Задача 6. Даны числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Впишите их в клетки квадрата так, чтобы в любом направлении получилось в сумме одно и то же число.

Один из вариантов решения на слайде. (слайд 17)

Задача 7. Сравните условие задач 1 и 6 и подумайте, как можно было решить задачу, зная решение задачи 1.

(Числа из задачи 6 в два раза больше соответствующих чисел задачи 1. Поэтому можно каждое число квадрата из задачи 1 просто удвоить и получить искомый квадрат.)

Существуют различные способы построения магических квадратов. Рассмотрим метод террас, который придумали древние китайцы. Следуя этому методу надо «естественный» числовой квадрат повернуть относительно центра на половину прямого угла (слайд 19) и отделить квадратной рамкой таблицу 3´3. (слайд 20) Числами, записанными вне рамки, и образующими выступы («террасы»), заполняем пустые клетки у противоположной стороны таблицы. (слайд 21)

Аналогично можно построить любой квадрат нечетного порядка. Заполним клетки магического квадрата 5´5 числами от 1 до 25. (слайды 22, 23, 24)

Для построения магического квадрата 4´4 наиболее простым и доступным является следующий метод: в «естественном» квадрате меняются местами дополнительные числа на главных диагоналях, а остальные остаются без изменения. (слайды 25, 26)

I. Организация работы. Сообщение темы, задач занятия.

- Сегодня занятие необычное у нас,
Занимательная математика пришла к нам в класс!
Вы, ребята, не скучайте,
Если знаете ответ, руку поднимайте
и смело отвечайте.

- Итак, начинаем тренировку, чтобы умным стать и ловким! Разгадав ребусы, узнаете, чем будем заниматься на занятии.

II. Устные упражнения.

Игра "Я угадаю число, которое задумали вы".

- Задумайте число. Прибавьте к нему 3, умножьте полученную сумму на 6. Из произведения вычтите задуманное число и число 8. Разность разделите на 5. А теперь скажите мне, какой получился результат, чтобы я ответила, какое число вы задумали.

(Указание: из ответа детей вычесть 2.)

- Продолжаем работу с числами. Игра "Магический квадрат".

- Как вы понимаете словосочетание "магический квадрат"?

- В китайской древней книге "Же-ким" ("Книга перестановок") есть легенда о том, что император Ню, живший 4 тысячи лет тому назад, увидел на берегу реки священную черепаху. На ее панцире был изображен рисунок из белых и черных кругов. Если заменить каждую фигуру числом, показывающим, сколько в ней кругов, получится таблица из чисел.

- Давайте ее составим. (Работа в парах. Рисунок на парте лежит, дети считают круги и вписывают в клетки квадрата числовое их обозначение. Аналогично работают 2 учащихся у доски.) Проверка.

4

9

2

3

5

7

8

1

6

- У этой таблицы есть замечательное свойство. Сложим числа 1-го столбца: 4 + 3 + 8 = 15. Сложим числа 2-го и 3-го столбцов. Тот же результат получился(15). Он же получается при сложении чисел любой строки. Проверим. Мало этого, тот же ответ 15 получается, если сложить числа каждой из двух диагоналей: 4 + 5 + 6 = 8 + 5 + 2 = 15.

- Вот такое загадочное расположение чисел от 1 до 9! Рисунок китайцы назвали "ло-шу" и стали считать его магическим символом, и употреблять при заклинаниях. Поэтому сейчас любую квадратную таблицу, составленную из чисел и обладающую таким свойством, называют магическим квадратом.Проверим магические это квадраты или нет?

- Задание: составьте магический квадрат, в центре которого стоит число 4, расставьте числа 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 так, чтобы сумма чисел по горизонтали, вертикали и двум диагоналям была равна 12.

Дети составляют магический квадрат на индивидуальных листах, расчерченных по форме.

Грамматическая арифметика.

Ква + рак - ак + тира =? (Квартира.)

- Что такое квартира?

- Какая связь между квартирой и математикой? (Ответы детей.)

Отгадайте составляющую часть квартиры. (Ответ: кухня.)

- На кухне часто решаются жизненные задачи, происходят важные дела, на ней за чашкой чая мы рассказываем о своих успехах или неудачах.

III. Решение занимательных задач.

• На кухне площадью 6 м² дедушка рассыпал мелочь. С каждого квадратного метра бабушка собрала по 65 копеек. Каков общий урожай? - Как понимаете вопрос?

Решение: 65 коп. ^. 6 = 390 коп. = 3 руб. 90 коп.

• Папа, мама и старшие сёстры ужинают, а младший брат Васенька сидит под столом и пилит ножку стола со скоростью 3 см/мин. Через сколько минут закончится ужин, если толщина ножки стола 9 см?

Решение: 9 : 3 = 3 (мин.)

• В кухне находится 39 мух. 6 мух пьют чай из лужи на столе, 12 летают вокруг лампочки, остальные идут пешком по потолку. Сколько мух идет пешком по потолку?

Решение: 39 - 6 - 12 = 21 (муха)

IV. Рефлексия.

- Какое задание вам понравилось? Почему?

- Какое задание было смешным? Трудным?

- С какого задания вам бы хотелось начать завтрашний урок математики?

V. Домашнее задание (по желанию).

- В девяти клетках квадрата расставьте числа 2, 2, 2, 4, 4, 4, 6, 6, 6 так, чтобы сумма чисел по горизонтали, вертикали и диагоналям была равна 12.

Ответ:

2

6

4

6

4

2

4

2

6

Карточка 1
Числа:
1,2,3,4,5,6,7,7,9

Ответ

6

1

8

5

7

5

3

2

2

9

4

Карточка 2
Числа:
3,4,5,6,7,8,9,10,11

Ответ

10

3

8

7

5

7

9

11

6

11

4

Карточка 3
Числа
4,5,6,7,8,9,10,11,12

Ответ

11

6

7

8

4

8

12

5

9

10

5

Карточка 4
Числа
3,5,7,9,11,13,15,17,19

Ответ

17

7

9

11

19

3

11

19

13

15

5

За правильно выполненное задание команда получает 5 баллов, за подсказку другой команде - 1 балл.
Как составить магический квадрат?
Как же составить магический квадрат, например, такой, как на рисунке, затрачивая минимальное время, если в квадрат не вписано ни одного числа?

4

9

2

3

5

7

8

1

6

Можно попробовать перебрать различные варианты расстановки чисел от 1 до 9 в клетках таблицы. Если повезет - вы получите магический квадрат. Однако при этом надо иметь в виду, что всего существует почти 400 000 разных расстановок чисел в этом квадрате.
Гораздо интереснее и быстрее составить такой магический квадрат с помощью рассуждений.
Сумма всех чисел от 1 до 9 равна 45. Всего в квадрате три строки. Значит в каждой строке магического квадрата сумма чисел должна быть равна 45 : 3 = 15. Но тогда, чтобы квадрат был магическим, в каждом столбце и на каждой диагонали сумма чисел тоже должна быть равна 15.
Выпишем все возможные представления числа 15 в виде суммы трех слагаемых от 1 до 9.

9 + 5 + 1

8 + 6 + 1

7 + 6 + 2

6 + 5 + 4

9 + 4 + 2

8 + 5 + 2

7 + 5 + 3

8 + 4 + 3

Заметим, что число, стоящее в центре таблицы, должно встречаться в выписанных суммах четыре раза (столбец, строка и две диагонали). Каждое число, стоящее в углу таблицы, должно встречаться в суммах три раза (строка, столбец, диагональ). А число, стоящее на одном из оставшихся четырех мест, должно встречаться в суммах только два раза (строка и столбец).
Поскольку в полученных суммах четыре раза встречается только число 5, оно и должно стоять в центре таблицы.
Трижды встречаются в суммах числа 2, 4, 6 и 8. Значит, они должны стоять в углах таблицы, причем так, чтобы 2 и 8 были на одной диагонали (2 + 5 + 8 = 15), а 4 и 6 - на другой. Продолжая рассуждения, можно построить магический квадрат, изображенный на рисунке

2. Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 см и выстроили их в один ряд в виде полосы шириной 1 см. Какой длины получилась полоса?

Ответ: Длина полосы - 100 м.

1 м² = 10 000 см². Значит, полоса шириной 1 см имеет длину 10 000 см = 100 м.

Возможно такое решение: квадрат разрежем на полосы шириной 1 см. Таких полос длиной 1 метр будет всего 100. Значит, длина всей полосы 100 м.

1. Нарисовать справа по точкам такую же лесенку, как и справа.



2. На каждой полоске из трех частей выбери и отметь крестиками такие две, из

которых можно составить треугольник.

1. Отметить в тетради 3 точки, не лежащие на одной прямой. Соединить отрезком каждую пару точек. Какую фигуру получил? Обозначить вершины треугольника буквами.

2. Начерти в тетради прямой угол. На его основе начерти различными цветными карандашами тупой угол, затем острый угол.

3. Измерь длину ломаной. Обозначь ее вершины буквами. Запиши самое длинное и самое короткое звено.

4. Начерти отрезок АВ. Отметь на нем 2 точки. Запиши сколько получилось отрезков?

5. Начерти в тетради прямоугольник с длинами сторон 7 см. и 4 см. Проведи в нем одну линию так, чтобы получился квадрат.

6. Среди четырехугольников найдите квадрат (на рисунок поместить ромб)

7. Найди части, на которые разбит прямоугольник, изображенный слева, и отметь

их крестиком.





Сосчитать количество треугольников на каждом чертеже.



8. Восстановить фигуры по их половине.


1. Найди сумму длин сторон (периметр) каждой из следующих фигур:



2. Построить равносторонний треугольник, длина стороны которого равна 4 см. Найди его периметр.

3. Найди длину стороны треугольника, периметр которого равен 12 см., а длина других сторон - 3 см. и 4 см. Построй треугольник.

4. Построй прямоугольник, используя свойства диагоналей.

5. Начерти 2 круга с разными центрами: один радиусом 2 см., а другой - радиусом 3 см. Рядом начерти 2 круга с одним и тем же центром: один радиусом 2 см., а другой - радиусом 3 см.

6. Начертить квадрат, периметр которого равен периметру прямоугольника со сторонами 5 см. и 3 см.

7. Отметь две точки. Соедини их отрезком. Используя только циркуль и неотцифрованную линейки, раздели отрезок пополам, используя метод пересекающихся дуг окружностей одного и того же радиуса с центрами в конечных точках отрезка, которые надо разделить пополам.

8. Начерти два прямоугольника так, чтобы площадь второго была меньше площади первого.

9. Найди площадь каждой фигуры сложенной из квадратных сантиметров.

Рассмотри два способа нахождения площади фигур.

10. Начерти треугольник, круг и прямоугольник так, чтобы треугольник был внутри прямоугольника, а круг - внутри треугольника.

11. Разбей изображенные на рисунках предметы на простые геометрические фигуры, проведя прямые. Найди периметр и площадь заданной фигуры, проведя необходимые измерения.



12. Длина одной стороны прямоугольника 9 см., а его периметр 26 см. Найти площадь этого прямоугольника.

13. Проведи оси симметрии в заданной фигуре.




4 КЛАСС.


В учебниках М.И.Моро рассматриваются только плоскостные геометрические фигуры. В учебниках Н.Б. Истоминой, И.И. Аргинская, Л.Г.Петерсон учащиеся знакомятся и с объёмными геометрическими фигурами: шар, конус, прямоугольный параллелепипед, цилиндр правильная треугольная пирамида, куб. В учебниках Л.Г. Петерсон через объём рассматриваются свойства фигур. Выполнение развертки прямоугольного параллелепипеда (куба). Изготовление каркасов многогранников и моделей многогранников. Изображение многогранников на рисунке, на чертеже в трех проекциях. ПЛОЩАДЬ ФИГУР. ПАЛЕТКА. Нахождение площади фигур с помощью палетки. Нахождение площади параллелограмма, трапеции на основе их преобразования в прямоугольник; площади прямоугольного треугольника путем дополнения до прямоугольника (квадрата). Нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда (куба).


^ ВИДЫ ЗАДАНИЙ.

1. Начерти четырехугольник так, чтобы заданные на чертеже отрезки стали его диагоналями. Запиши, какую фигуру получил. Докажи правильность ответа. Обозначь ее периметр и площадь.

2. Построить прямоугольник (квадрат), используя свойство его диагоналей.

3. Будет ли разверткой куба представленная на чертеже фигура? Почему? Измени рисунок так, чтобы начерченная фигура стала разверткой куба.




4.Выполни чертеж бруска, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, в тех же размерах, в которых задан брусок.



5. Сделай рисунок и чертеж в трех проекциях куба, длина ребра которого равна 4 см. Вычисли и запиши площадь всей поверхности куба.

6. Выполнить рисунок прямоугольного параллелепипеда по данному чертежу, сохраняя на рисунке размеры, приведенные на чертеже.

7. Рассмотри развертку куба. Мысленно сверти из нее куб и закрась желтым цветом ту грань, которая будет нижней, если верхней будет заштрихованная грань.



8. Начерти на клетчатой бумаге такой же четырехугольник. Найди его площадь.



9. Начерти два прямоугольника: один с периметром 6 см. а другой с площадью 6 см2. Сравнить площади начерченных прямоугольников.

10. Найди площадь фигуры, изображенной на рисунке.






11. Сделай необходимые измерения и вычисли площадь прямоугольного треугольника, заданного на чертеже.



12. Как, разделив окружность на 8 равных частей, построить такую развертку. Сделай это. Раскрась ее.

13. 
    Квадрат разрезали на 4 равные части и составили из них 2 квадрата. Покажи на чертеже, как это можно сделать.

Логика - наука о законах и формах мышления. Стройный ход рассуждений, где каждое последующее умозаключение исходит из предыдущего. Замечательные сказки Льюиса Кэрролла «Алиса в Стране Чудес» и «Алиса в Зазеркалье» прекрасно демонстрируют своеобразную логику.

Рассуждать логически мы учимся с самого раннего детства, отгадывая загадки. К сожалению, многие люди на том и останавливаются, и совершенно напрасно. Совершенствовать свою логику не только очень увлекательно, но и крайне полезно. Литературный герой, придуманный Артуром Конан Дойлом, Ш.Холмс пользуется дедуктивным методом, основанным на логических рассуждениях, для раскрытия преступлений.

Предлагаю порассуждать: представьте себе, что перед Вами двое совершенно неотличимых близнецов. Один всегда лжет, другой всегда говорит правду. Одного зовут Джон, а имя другого неизвестно. Кто лжет, а кто говорит правду Джон или не Джон неизвестно. Предположим, Вы хотите узнать у них: кто же из них Джон? Вам разрешается задать каждому близнецу только один вопрос, на который они могут дать односложный ответ: «да» или «нет». Какой вопрос Вы бы задали? Интересно? Попробуйте! Это же так интересно!