Исследовательская работа Замечательные кривые

Содержание

1. Введение ............................................................................ с. 3

2. Основная часть

1. Эллипс…………………………………………………. с. 4

2. Парабола ………………………………………………. с. 6

3. Гипербола……………………………………………… с. 7

4. Овалы Кассини………………………………………… с. 8

5. Циклоида ………………………………………………. с. 9

6. Синусоида ……………………………………………... с. 10

7. Цепные линии………………………………………….. с. 10

8. Спирали ………………………………………………... с. 10

3. Заключение ………………………………………………... с. 12

4. Библиография ……………………………………………... с. 13

Тема моего исследования «Замечательные кривые». Я выбрал именно эту тему, потому что мне стало интересно узнать, какие еще существуют кривые, кроме циклоиды. С работой «Эта интересная кривая - циклоида » я выступал перед одноклассниками на кружке «Юный математик», а затем участвовал на районной конференции «Я - исследователь», а так же и в областном конкурсе исследовательских работ и проектов школьников в области математики, прикладной математики «Математика вокруг нас» в номинации «За страницами учебника математики».

В школьном курсе математики изучаются совсем немного кривых, имеющих необычный график. Особый интерес представляют так называемые замечательные кривые, имеющие специфические особенности. Замечательные кривые часто встречаются в жизни, но не замечаются человеком, поэтому я решил рассмотреть эту тему.
Математики Древней Индии заменяли доказательства теорем геометрическими чертежами, сопровождая его короткой подписью: "Смотри!". Я пользовался тем же принципом, заменив долгие разъяснения рисунками, из которых видны все свойства кривых.

В разговорном языке слова «кривой», «кривая», «кривое» употребляются как прилагательные, обозначающие то, что отклоняется от прямого, от правильного, от справедливого. Математики под словом «кривая» подразумевают кривую линию. Что же такое кривая линия? Как охватить в одном определении все кривые, которые рисуют на бумаге карандашом или пером, на доске мелом, вычерчиваются на ночном небе «падающей звездой» или ракетой? Эти вопросы я рассмотрел в данной работе

Цель работы: выяснить, что является кривой линией.

Задачи:

1. изучить виды кривых, их свойства;

2. рассмотреть практическое применение кривых;

3. исследовать способы их построения.

Эллипс

Опыт 1.Возьмем плотный лист бумаги и прикрепленную к нему нитку. Натягивая эту нитку карандашом и двигая его по бумаге, получим линию. Эта линия называется эллипсом.

Эллипс - множество точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от двух данных точек F1 и F2, лежащих в плоскости, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между F1 и F2, и равная данному числу 2а или отрезку 2а. Точки F1 и F2 называются фокусами. Расстояние между фокусами (2с) называется фокальным, число 2а называют большой осью, 2в - малой осью (рис.1)

Простейшее уравнение эллипса в прямоугольных декартовых координатах имеет вид: , где . (Окружность - частный случай эллипса, где а = в)

Рис. 1 Эллипс и окружность

Если спроектировать окружность на плоскость не перпендикулярно и не параллельно плоскости окружности, то в проекции получится эллипс. Если цилиндр или конус пересечь наклонной плоскостью, то в сечении получится тоже эллипс. Как можно просто начертить эллипс? Для этого прикрепим к доске две кнопки на расстоянии 2с, и привяжем к ним нитку длинной 2а, причем а > с. Если теперь оттянуть нитку в сторону и провести карандашом линию, то мы вычертим дугу эллипса. На этом свойстве построен эллиптический циркуль - прибор для вычерчивания эллипса с различными осями.

Кстати, этот прием можно применить на дачном участке, чтобы украсить сад. Сделать красивую клумбу эллиптической формы.

Касательная (прямая, имеющая одну общую точку с эллипсом) к эллипсу составляет равные углы с фокальными радиусами, проведенными в точку касания. Прямая m, перпендикулярна прямой n в точке касания (образует угол в ) составляют равные углы с фокальными радиусами F1M и MF2. (рис 2)

Рис.2 Эллипс

Если источник света поместить в фокус F1, и луч света направить на зеркальную поверхность по F1M, то отраженный свет пойдет по MF2, т.е. попадет в фокус F2. Отсюда происходит и название фокус (с лат. - очаг, огонь).

Это свойство (угол падения равен углу отражения) изучается в оптике (раздел физики). Также распространяются и акустические (звуковые) волны. Используют и архитекторы для создания различных звуковых эффектов:

«говорящих» бюстов, «мистического» шепота», «потусторонних» звуков. Свойства эллипса используются в технике, в конструкциях некоторых станков (зубчатые шестерни эллиптической формы). Также используются при изучении законов движения планет - закон Кеплера. Траектория движения планет солнечной системы являются различными эллипсами.

Парабола

Парабола (кривая второго порядка) - множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки F (фокуса) и данной прямой m (директрисы), лежащей в той же плоскости. KM=FM. (рис. 3)

Рис. 3 Парабола

Графиком квадратичной функции + bx + c является парабола. Построим график функции () (рис. 4)

Рис. 4

Парабола может быть получена как сечение конуса плоскостью, параллельной одной из образующих конуса. Если в фокус зеркальной параболы поместить источник света, то все исходящие лучи после отражения от неё пойдут по прямым, которые параллельны оси параболы. И, наоборот, все лучи света, идущие параллельно оси параболы, после отражения от «стенок» кривой соберутся в одной точке - фокусе. Это оптическое свойство широко используется в технике: в устройстве фар, рефлекторов, антенн радиотелескопов. Кроме того струйки воды фонтана описывают траектории в виде параболы; камень, брошенный под углом к горизонту, движется по параболе; граница тени, отбрасываемой на стене лампочкой, помещенной в конический абажур.

Гипербола

Гипербола - множество точек М плоскости, разность расстояний которых (по модулю) до двух данных точек (фокусов) постоянна.=2a. Или: гипербола - кривая, являющая пересечением кругового конуса плоскостью, параллельной двум образующим конуса. (рис.5). Гипербола состоит из двух ветвей.

Рис.5 Гипербола

Уравнение гиперболы имеет вид: - , где= -. Числа действительной и мнимой полуосей. На уроках математики изучали обратно пропорциональную зависимость. Она задается формулой , где k - число, не равное нулю. Графиком такой функции является гипербола. Например, построим график такой функции (рис. 6)

Рис. 6

Овалы Кассини

Французский астроном Джованни Кассини (1625-1712), в отличии от Кеплера, сомневался в том, что планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам. Кассини искал и нашел кривую, определяемую как множество точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) F1 и F2 постоянно (k). В зависимости от величины этой постоянной форма кривой может принимать различные очертания. Если постоянное произведение больше (a=), то образуется кривая: (рис. 7)

Рис.7

Если постоянная равна, то кривая обращается в «бантик» (рис.8) Швейцарский математик Якоб Бернулли дал этой кривой поэтическое название «лемниската».

Рис.8 Лемниската Бернулли

Если постоянная меньше , кривая распадается на два маленьких овала, охватывающая фокусы (рис. 9). Это семейство кривых называют овалами Кассини.

Самый интересный из них овалов - «бантик». Много времени уделял ему швейцарский математик Якоб Бернулли. Эту кривую, имеющую сходство с бантиком, которым в древнем Риме привязывали лавровый венок к голове победителя, называют лемнисткатой Бернулли (от греч. «лемнускату» - «украшенный лентами»). Лемниската Бернулли известна инженерам-железнодорожникам. Она служит переходной линией между участками железнодорожного полотна прямолинейной и округлой формы, обеспечивающая плавность закругления, без которой центробежная сила, действующая на поезд, возросла бы резко, скачком, доставляя неудобства и пассажирам, и железнодорожникам. В зависимости от того, сколько фокусов и как они расположены на плоскости, возникают фигуры с разными причудливыми контурами. Это все «лемниската» (рис. 10)

Циклоида

Опыт 2. Поставим монету на ребро, отметим на ней ближайшую к поверхности стола точку. Катнув монету по столу, будем наблюдать за перемещением этой точки. В результате наблюдения нужно начертить линию перемещения этой точки. Получившаяся кривая называется циклоидой. (от греческого слова Cykloe:des -«кругообразный»).

Если точка расположена на окружности, то получим обычную циклоиду (рис.11а). Если же точку взять внутри круга, то получим кривую называемую укороченная циклоида (рис.11б). А если точку взять вне (снаружи) круга, то имеем кривую, называемую удлиненная циклоида (рис.11в).

а)

б)

в)

Рис.11 Циклоида а) обычная, б) укороченная, в) удлиненная

Однако круг можно катить не только по прямой. Циклоиды могут иметь самый разнообразный вид. Представим некоторые из них.

Если по кругу радиуса R вне его катится круг с отмеченной точкой М радиусом r, то точка М описывает кривую, называемую эпициклоидой. Если круг катится внутри данного круга, то точка М описывает кривую, называемую гипоциклоидой. Количество заострений графика равно R/r.

R = r

r = R/2

r = R/4

Рис. а) кардиоида б) нефроида в) астроида

Опыт 3. Возьмем два равных круга. Один из этих кругов закрепим. Второй приложим к первому, отметим на краю его точку A, наиболее удаленную от центра первого круга. Затем катим без скольжения подвижный круг по не подвижному и наблюдаем, какую линию опишет точка A. Она называется кардиоидой. Такое название она получила из-за сходства с сердцем (греческое слово "кардио" означает сердце).

Если возьмем точку не на самой катящейся окружности, а внутри ее, сместив в сторону от центра, тогда мы получим кривую, получившуюся название Улитка Паскаля или лимакона (рис). Лимакона была открыта французским математиком Этьеном Паскалем (отцом знаменитого ученого Блеза Паскаля)

Рис. Улитка Паскаля

Синусоида.
Опыт. Сделаем из плотной бумаги, свернув ее несколько раз, трубочку. Разрежем ее наклонно. Если трубочку не разворачивать, то в сечении будет эллипс. Если развернуть одну из частей, то линия разреза будет представлять собой одну из замечательных кривых, называемая синусоидой (рис.10)

Рис.10 Синусоида

С синусоидой часто встречаемся при изучении электромеханики и радиотехники. Любопытно, что проекция на плоскость винтовой линии также будет синусоидой.

Цепные линии

Опыт. Как вы думаете, какую линию образует провисшие провода, тросы, гирлянды? Галилей предположил способ построения параболы с помощью двух гвоздей вбитых в стенку, и висящей на них тонкой цепочки. Он ошибался. Спустя полвека после выхода книги Галилея, в 1690 году, Якоб Бернулли доказал, что форма свободно провисающей цепочки описывается особым уравнением и, значит, параболой не является. Он держал своё открытие в тайне. Через год его брат Иоганн, а так же Лейбниц и Гюйгенс нашли правильное решение и опубликовали. Гюйгенс назвал эту кривую цепной линией (рис.12).

Рис.12

Спирали

Очень часто в природе мы встречаемся с такими явлениями как: смерч, сметающий всё на своём пути; воронка, образованная вытекающей из ванной воды (или на реке: воронка, которая является причиной несчастного случая на воде); круговорот гигантского космического вихря туманностей и галактик. Все они имеют форму спиралей.

Одну из первых спиралей описал Архимед. В честь него и назвали «спираль Архимеда» (рис. 13а).

Она обладает свойствами:

1. Расстояние между двумя соседними витками спирали постоянно;

2. Пропорциональность приращений радиальных расстояний и углов. Используя эти свойства спирали, Архимед решал трудные задачи: задачи о трисекции угла (деление угла на три равные части); задачи на вычисление площади фигуры, ограниченной первым витком спирали; задачу о квадратуре круга.

Существует ещё и логарифмическая спираль (рис.13б). Из многих свойств логарифмической спирали, отметим одно: любой луч, выходящий из начала, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом. Её можно увидеть в витках раковины. Семена в корзинах подсолнуха также располагаются по кривым, близким к дугам логарифмической спирали. Вращающиеся ножи соломорезки имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали. Если трубу, подводящую струю воды к лопастям турбинного колеса на гидроэлектростанции заворачивать по логарифмической спирали, то потеря энергии движущейся воды будет минимальным. Логарифмическая спираль (Спираль Бернулли) - самая красивая из математических кривых, кривая с «твердым характером». Она не меняет своей природы при многих преобразованиях, как другие кривые. Две части этой спирали могут отличаться pазмеpами, но никак не формой. У этой спирали нет предельной точки.

Рис.13б

Заключение

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется интерес человека к замечательным кривым, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей.

Впрочем, кривые - отнюдь не только объект научных исследований. Интерес к ним обусловлен не только их красотой и оригинальностью, но и большой практической ценностью. Кривые имеют непосредственное отношение к окружающему нас миру. Они проявляются в частности в природе, науке, архитектуре.

Так что же такое кривая линия? С помощью проведенных опытов я сделал вывод: Кривая есть след движущейся точки. Такой точкой в приведенных примерах является острие карандаша, острый край куска мела и т. д.

В своей работе я показал различные способы получения кривых:

1. построение графиков уравнений в полярных и декартовых координатах;

2. вычерчивание траектории точки, используя свойства;

3. проведение сечения геометрических тел плоскостью.

И выяснил, что наиболее точное построение кривых можно выполнить с помощью графика.

Литература:

Список литературы

1. Аксенова М. Д. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика/- М.: Аванта+, 1998.

2. Бронштейн И. Н., Семендяев К. Л. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов., М.: Гостехиздат., 1967.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С.Б. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразов. Учреждений - М.: Просвещение, 2013.

4. Мануров О. В., Солнцев Ю. К., Соркин Ю. И., Федин Н. Г. под ред. Сабинина Л. В., Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч.2/ - М. Просвещение, 1982.

5. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин. Математическая шкатулка. М., Просвещение, 1988.

6. Я.И. Перельман. Занимательные задачи и опыты. Домодедово, ВАП, 1994.

16