Научно-исследовательская работа в 5 классе Логические задачи

Содержание

Ведение…………………………………………………………………… стр. 2

Глава 1. Способы решения логических задач и задач повышенной трудности

1.1 Способы решения логических задач…………………………………стр.3

1.2.Решение логических задач с помощью таблиц и графов ................стр.6

1.3. Решение задач арифметическим и алгебраическим способом…………………..……………………………………………… стр.9

1.4. Решение логических задач способом подбора…………………… стр.11

Глава 2. Описание и представление подборки логических задач……стр.12

Заключение……………………………………………………………… стр.14

Список литературы……………………………………………………… стр. 15

Введение

Логика нужна любому специалисту, будь он математик, медик или биолог. Логика - это необходимый инструмент, освобождающий от лишних, ненужных запоминаний, помогающий найти в массе информации то ценное, что нужно человеку.

Логические задачи и задачи повышенной трудности представляют для меня особый интерес. Решать их очень увлекательно. В них вроде бы нет никакой математики, в то же время дух этой науки чувствуется в них ярче всего. Половина решения любой логической задачи (а иногда гораздо больше половины) состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии, распутать все связи между данными. Каждая задача требует производить сравнения, делать выводы, заставляет мыслить последовательно, доказательно, хотя решение не всегда оформляется с первого раза, часто возникают затруднения.

Я решила узнать, любят ли решать логические задачи ученики нашей школы. Для этого провела анкету. Вопросы анкеты: «Любишь ли ты решать логические задачи? Знаешь ли ты способы решения логических задач?» По результатам анкеты я выяснила, что из 75 опрошенных любят решать логические задачи только 26 человек. Знает способы их решения 31 ученик, но особого интереса к ним не проявляет. Многие испытывают затруднения в установлении взаимосвязи между данными задачи, не могут сделать выводов, которые ведут к решению. Данные анкеты представлены в диаграмме.

Анализ анкет показал, что ученики не проявляют особого интереса к решению логических задач. На уроках математики не всегда возможно найти время для их решения. А ведь логика необходима ученику не только на уроках математики, но и на других предметах. Делая вывод из вышесказанного, мы можем говорить об актуальности моей работы.

Цель: изучение основных способов решения логических задач и задач повышенной трудности; сделать подборку задач для школьников, включающего в себя изученные способы решения.

Для достижения цели мы поставили перед собой следующие задачи:

• Освоить разные способы и принцип решения логических задач и задач повышенной трудности.

• Познакомить со способами и принципом решения логических задач и задач повышенной трудности обучающихся 5- 6-х классов, вызвать у них интерес к данным задачам.

• Сделать подборку логических задач и задач повышенной трудности для сборника.

Глава 1. Способы решения логических задач

1.1 Способы решения логических задач

В литературе и в интернет - источниках я нашла и изучила разные способы решения логических задач. Существует несколько таких способов. Они разнообразны, и каждый из них имеет свою область применения. Главное в решении логических задач понять, в каких случаях какой способ удобнее использовать. В своей работе я остановлюсь на графическом, табличном, арифметическом и алгебраическом способах, способе подбора. Суть этих способов представлен в таблице. Эту таблицу можно использовать как памятку при решении логических задач.

Таблица 1.

Способ решения логических задач

Суть способа

Когда применяется

Графический способ

Элементы множества обозначаются графически точками, фигурами, располагаются, одно множество располагается под другим. Изучается условие задачи, связь между множествами обозначается стрелками, соответствие и несоответствие нужно выделять разным цветом или другой линией.

Удобно применять, когда множества состоят не более, чем из трех элементов.

Табличный способ

Составляется таблица, количество граф соответствует количеству элементов каждого множества. В таблицу заносятся названия элементов множеств, соответствие одного элемента с другим обозначается знаком + при положительном соответствии и знаком -, если этого соответствия нет.

Более удобный и наглядный способ. Применяется, когда множества состоят более чем из трех элементов.

Способ подбора

Перемещение предметов или объектов, обдумывание хода передвижения, предугадывание результата, проверка правильности в соответствии с условием. При решении задач этим способом необходимо сочетать умственные и практические действия.

Применяется в задачах на перестановки, передвижении объектов.

Арифметический способ

Решение задачи по действиям, ответы на вопросы каждого действия, вывод о результате решения задачи по последнему действию.

Арифметические задачи, в которых нет сложной цепочки рассуждений, взаимосвязи между данными можно устанавливать от действия к действию.

Алгебраический способ

Неизвестные величины находятся в результате решения уравнения.. Уравнение составляется на основе известных и неизвестных данных.

Применяется при сложных взаимосвязях между данными.

На основе этой таблицы можно понять, какой способ решения выбрать и как его применить. Решать логические задачи можно по следующей схеме:

1. Изучается условие задачи

2. Вводится система обозначений

3. Составляется логическая цепочка

4. Последовательное выполнение по логической цепочке

Рассмотрим более подробно способы решения логических задач и задач повышенной трудности и приведем примеры их решения.

1.2 Решение логических задач с помощью таблиц и графов

Решать задачи графическим способом можно тогда, когда требуется установить соответствие между двумя объектами (множествами). Графически обозначаются элементы множеств, а соответствие между ними - отрезками (стрелками). Решить задачу просто, если учесть, что каждому элементу одного множества обязательно соответствует элемент другого множества, но только один. Приведем пример решения задачи графическим способом.

Задача 1

Три ученицы - Валя, Галя и Катя пришли на праздник в платьях разного цвета: одна в белом, другая в сером, третья в черном. Катя была не в черном, Валя - не в черном и не в сером. Узнай, кто в каком платье.

Для решения обозначим имена и цвета, проведем стрелки. Начнем решение с девочки, о которой больше данных. Это - Валя. Исключая для Вали черный и серый, приходим к выводу, что Валя в белом. Рассматриваем следующие данные о Кате. Известно, что она не в черном. Так как белый уже занят, для Кати остается серый цвет. Галя в черном.

Галя

Валя

Катя

серое

черное

белое

- не одета

- одета

Ответ: Валя в белом платье, Катя в сером, а Галя в черном.

Решения логических задач табличным способом также прост и нагляден. Его удобно использовать в том случае, когда требуется установить соответствие между двумя множествами, которые имеют по пять-шесть элементов. При решении задач таким способом необходимо помнить:

1. в каждой строке и в каждом столбце таблицы может стоять только один знак соответствия + или -;

2. если в строке (или столбце) все «места», кроме одного, заняты знаком «-» , то на свободное место нужно поставить знак «+»; если в строке (или столбце) уже есть знак «+», то остальные места должны быть заняты знаком «-».

Приведем пример такой задачи.

Задача 2.

Пятеро одноклассников Ирина, Тимур, Светлана, Эльдар, Сергей стали победителями олимпиад школьников по физике, математике, информатике, литературе и географии. Известно, что победитель по информатике учит Иру и Тимура работе на компьютере; Светлана и Эльдар тоже заинтересовались информатикой; Тимур всегда побаивался физики; Светлана, Тимур и победитель по литературе занимаются плаванием; Тимур и Светлана поздравили победителя олимпиады по математике; Ирина сожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу. Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят?

Решим эту задачу с помощью таблицы, так как в графах будет много линий и разобраться с ними будет сложнее.

предмет

Ирина

Тимур

Светлана

Эльдар

Сергей

Физика

-

-

+

-

-

Математика

+

-

-

-

-

Информатика

-

-

-

-

+

Литература

-

-

-

+

-

География

-

+

-

-

-

Ответ: Ирина победитель по математике, Тимур по географии, Светлана по физике, Эльдар по литературе, Сергей по информатике.

1.3. Решение задач арифметическим и алгебраическим способом.

Также я рассмотрела решение задач повышенной трудности. Эти задачи чаще относятся к темам по математике. Но в них присутствуют сложные взаимосвязи между данными, которые для решения требуют логических выводов. Эти задачи можно решать по действиям (арифметический способ) и уравнением (алгебраический способ). Представим последовательность (алгоритм) решения этих задач.

• Чтение задачи.

• Выделение известных и неизвестных величин.

• Установление связи между условием и вопросом.

• Введение неизвестного.

• Выражение через это неизвестное других величин.

• Установление равенства.

• Составление уравнения.

• Решение уравнения.

• Формулировка ответа.

• Проверка.

Рассмотрим решение задачи составлением уравнения.

Задача 3.

В столовую привезли карпов, сазанов, судаков и лещей. Карпов было 46 кг, сазанов -30 кг, судаков в 3 раза больше, чем лещей. Когда половину всей рыбы израсходовали, осталось еще 90 кг. Сколько кг судака привезли в столовую?

Составим краткую запись.

Карпы - 46 кг.

Лещи - ? 90 кг

Сазаны - 30 кг.

Судаки - ? в 3 раза больше

Решим задачу с помощью уравнения. (Понятие уравнения в приложении).

В нашей задаче 2 неизвестных: за х мы взяли количество лещей, а количество судаков за 3х, так как по условию сказано, что их в 3 раза больше, чем лещей. Рассуждая, что 90 кг - это половина оставшейся рыбы, то можно сделать вывод , что вес всей рыбы будет равен 90. 2

Составляем уравнение

46+30+3х +х=90 .2

76 +4х=180

4х= 180-76

4х=104

Х=104:4

Х=26

Мы нашли значение х, при котором равенство будет верным, так как за х мы брали количество лещей, следовательно, их 26 кг. Зная, что судаков в 3 раза больше 26.3=78 (кг)

Ответ: 78 кг судака привезли в столовую.

Сделаем проверку: 46+ 26+ 30+ 78=180

Решение задачи выполнено верно.

1.4. Решение логических задач способом подбора

Есть логические задачи, которые можно решить способом подбора. Для этого нужно производить перемещения, подставки, проверять полученные результаты, делать вывод.

Представим пример такой задачи, которые мы составили сами по образцу для учеников начальной школы.

Задача 4.

Приготовьте 8 листочков с числами 1,2,3,4,5,7,8,9 и расположите их в двух столбцах. Перемещая только две карточки, добейтесь того, чтобы суммы чисел в столбцах были одинаковыми.

Для решения этой задачи нужно подбирать числа и сравнивать суммы в каждом столбике. Этот процесс может занять достаточно много времени, а в результате еще необходимо догадаться, что карточку с числом 9 нужно перевернуть на число 6.

Ответ:

1

3

2

4

7

5

8

6

18

18

Глава 2. Описание и представление подборки логических задач

При выполнении работы нами подобраны логические задачи и задачи повышенной трудности из разных источников. Чтобы работа носила практическую значимость, я сделала подборку логических задач.

В ней представлены задачи и с решениями, и с рекомендациями для решения той или иной задачи, а некоторые задачи нужно решить только самому, указаны ответы к этим задачам. Кроме того, представлены задачи повышенной сложности. Задачи рассчитаны на учеников 5-6 классов.

1. Встретились три подруги Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой - красное, на третьей - белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует фамилиям». Кто в какое платье был одет?

Рассмотрим решение такой задачи.

Из условия следует, что на Беловой не белое платье, на Черновой не черное, на Красновой не красное. Поставим минусы в соответствующие клетки таблицы:

Платье

Белое

Черное

Красное

Фамилия

Белова

-

Чернова

-

-

Краснова

+

-

По условию девочка в белом платье не Чернова - поставим минус в соответствующей клетке. Теперь очевидно, что белое платье может быть только на Красновой, - поставим в соответствующую клетку плюс, и т.д.

2. К кафе встретились три друга: Скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что у одного из нас белые, у другого черные, а у третьего рыжие волосы, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии», - заметил черноволосый. «Ты прав», - сказал Белов. Какой цвет у художника?

3. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании. На вопрос, какие места они заняли, трое из них ответили:

1. Коля ни первое, ни четвертое;

2. Боря второе;

3. Вова не был последним.

Какое место занял каждый мальчик?

4. Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии, начинающиеся на буквы В, П, С и К. Известно, что: 1) Ваня и С. - отличники; 2) Петя и В. - троечники;, 3) В. Ростом выше П.; 4) Коля ростом ниже П.; 5) Саша и Петя имеют одинаковый рост. Га какую букву начинается фамилия каждого мальчика?

5. Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом оконное стекло. Коля сказал: «Это не я разбил стекло». Олег сказал: «Это Петя разбил стекло». Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое - нет. Кто из мальчиков разбил стекло?

6. В лесу проводился кросс. Обсуждая его итоги, одна белка сказала: «Первое место занял заяц, а второй была лиса». Другая белка возразила: «Заяц занял второе место, а лось был первым». На что филин заметил, что в высказывании каждой белки одна часть верная , а другая - нет. Кто был первым и кто вторым в кроссе?

7. Четыре ученика - Витя, Петя, Юра и Сергей - заняли на математической олимпиаде четыре первых места. На вопрос, какие места они заняли, были даны ответы:

А) Петя - второе, Витя - третье;

Б) Сергей - второе, Петя - первое;

В) Юра - второе, Витя - Четвертое.

Указать, кто какое место занял, если в каждом ответе правильна лишь одна часть.

8. Три мальчика, отправляясь на день рождения к своему другу, обсуждают вопрос о подарке. Вот часть их разговора.

Петя. Давайте подарим ему книгу: он любит книги, и у него их не меньше 100.

Вася. По-моему, у него их меньше 100.

Коля. Не знаю, сколько у него книг, но хотя бы одна книга у него есть.

На дне рождения выяснилось, что из троих мальчиков был прав только один. Сколько книг было у именинника?

9. В коробке лежат три пилотки - одна синяя и две красные. Учитель вызывает к доске двух учеников, которые становятся лицом к классу и закрывают глаза. Учитель надевает каждому на голову одну пилотку, а оставшуюся убирает в коробку. Ученики открывают глаза, и каждый видит пилотку товарища, но не видит своей. Может ли кто-нибудь из них верно определить цвет своей пилотки?

10. Поспорили три мудреца - кто из них самый мудрый. Пришли они в четвертому мудрецу с просьбой рассудить их. Подумал четвертый мудрец и предложил им такое испытание: «У меня есть пять колпаков - два белых и три черных. Мы зайдем в черную комнату, я надену на ваши головы по колпаку. Затем мы выйдем из этой комнаты, и, кто первый определит цвет своего колпака, тот самый мудрый из вас». Согласились мудрецы и сделали все, как договорились. Через некоторое время один из них воскликнул: «На мне черный колпак!» Как рассуждал самый мудрый из мудрецов?

11. На острове есть всего два города А и В. В городе А живут правдивые люди, а в городе В - лгуны. Путешественник встретил островитянина на дороге, соединяющей эти города. Он не знал, в какой стороне какой город и кем был островитянин - правдивым человеком или лгуном, но, задав всего один вопрос, сумел определить положение обоих городов. Какой вопрос мог задать путешественник?

Заключение

В работе рассмотрены разные способы решения логических задач и задач повышенной трудности. Из литературных и интернет - источников я подобрала разные типы логических задач, большинство из которых удалось решить.

Значимость работы заключается в том, что мы сами учимся решать логические задачи и повышаем интерес к ним у других учеников.

Мои одноклассники с большим интересом решают логические задачи из моей подборки.

Данная работа помогла повысить уровень знаний и интерес к математике.

При подготовке и оформлении работы я совершенствовала навык пользователя персонального компьютера: работала с интернет - источниками, диаграммы составляла в программе, использовали компьютерные программы. Как писал Е.И. Игнатьев в своей книге «В царстве смекалки» «умственную самостоятельность и «смекалку» нельзя ни «вдолбить», ни «вложить» ни в чью голову. Результаты надежны лишь тогда, когда введение в область математических знаний совершается в легкой и приятной форме».

Литература и интернет - источники

1. Игнатьев Е.И.. Математическая смекалка. - М.: Омега, 1994. - 192 с.

2. Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике. - М.: Просвещение, 2005. - 2007 с.

3. Станислав Коваль. От развлечения к знаниям. Математическая смесь.: Пер. с пол. - Варшава, 1975. - 540 с.

4. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи.- М.: Просвещение, 1989.- С. 48.

5. rudocs.exdat.com

6. knowledge.allbest.ru/pedagogics

7. festival.1september.ru/articles/556450/

8. nsportal.ru/vu/lection/lektsiya-2-zadachi-povyshennoi-trudnosti

9. И.Ф.Шарыгин, А.В. Шевкин..Математика. Задачи на смекалку.- М.:Просвещение 1996.-80 с.

.

16