Квадрат Пирсона в задачах на смеси из двух и трех растворов (сплавов)

Салтыкова Руслана Алусьевна

Учитель математики МБОУ СОШ д. Новая Бура

Краснокамского района Республики Башкортостан

КВАДРАТ ПИРСОНА В ЗАДАЧАХ НА СМЕСИ И СПЛАВЫ

Цели и задачи: показать и раскрыть суть способа решения задач на сплавы и смеси, используя «квадрат Пирсона».

В работе раскрывается способ решения задач на концентрацию веществ, который предложил английский математик и статистик Карл (Чарльз) Пирсон (1857-1936).

Задачи на смеси, растворы и сплавы входят в обязательный курс школьной математики и встречаются на Едином государственном экзамене, но умеют решать их, увы, немногие. Постараемся исправить эту ситуацию и научимся решать данную разновидность задач с помощью квадрата Пирсона (или «методом креста»).

Квадрат Пирсона - это механический способ, который позволяет рационально и экономно проводить вычисления при решении задач на концентрацию, что особенно ценно на ЕГЭ и ГИА.

Применение квадрата Пирсона для смесей из двух сплавов достаточно хорошо раскрыто во многих исследовательских работах, опубликованных в различных изданиях, в том числе и в интернет-ресурсах. Но для смесей из трех и более сплавов вопрос применения данного метода остается открытым. Мало того, в некоторых исследовательских работах прямо указывается на невозможность применения «метода креста» для смесей из трех растворов. В данной работе показано, что этот способ можно применить для смесей из любого количества сплавов.

Ключевые слова: квадрат Пирсона, смеси, растворы, сплавы.

1. Теоретическая часть.

Для начала примем некоторые допущения:

• все получающиеся смеси и сплавы однородны;

• для всех веществ выполняется закон сохранения массы (или объема): масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.

Определение. Процентным содержанием (концентрацией или массовой долей) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах.

Сначала сформулируем и решим задачу в общем виде - составив таблицу. Допустим, имеется два раствора с концентрациями х₁ % и х₂ %, из которых требуется приготовить раствор с заданной концентрацией k %.

Пусть m₁ - масса первого вещества, m₂ - масса второго вещества, тогда при смешивании общая масса смеси будет равна m = m₁ + m₂.

При этом массовые доли растворенных веществ в данных растворах равны соответственно 0,01∙ х₁ ∙ m₁ и 0,01∙ х₂ ∙ m₂.

Заполним таблицу:

Очевидно, что выполняется равенство:

0,01∙ k ∙ (m₁ + m₂) = 0,01∙ (х₁ ∙ m₁ + х₂ ∙ m₂),

k ∙ (m₁ + m₂) = х₁ ∙ m₁ + х₂ ∙ m₂,

или х₁ ∙ m₁ + х₂ ∙ m₂ = k ∙ m, (1)

откуда получаем уравнение:

m₁ ∙ (k - х₁) + m₂ ∙ (k - х₂) = 0. (2)

Применим к этой ситуации другой подход. Построим квадрат и начертим обе его диагонали. Слева от квадрата рядом с его вершинами запишем одну над другой процентное содержание растворенного вещества в исходных растворах, а в его центре - процентное содержание вещества в смеси, которую нужно приготовить, и общую массу вещества. Внутри квадрата у соответствующих вершин запишем массы взятых растворов.

Теперь выполним следующие действия:

1. Умножим выражения, стоящие внутри и снаружи квадрата, рядом с верхней, а затем и нижней вершинами. Согласно формуле (1), их сумма равна произведению чисел, стоящих в центре квадрата.

2. Вычтем вдоль каждой диагонали квадрата процентные содержания веществ и запишем у свободного конца диагонали, умножив их на соответствующие массы исходных растворов.

Получим выражения: (k - x₁) ∙ m₂ и (k - x₂) ∙ m₂ .

По формуле (2) сумма этих выражений равна 0.

Таким образом, мы получили механический способ решения таких задач с помощью квадрата Пирсона.

Аналогично решается задача и для смеси из трех и более сплавов.

2. Практическая часть.

Рассмотрим применение этого способа на конкретных примерах.

Задача 1.

В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Объем смеси равен 5 + 7 = 12 (л).

Построим квадрат Пирсона.

По формуле (1) имеем:

12 ∙ 5 + 0 ∙ 7 = 12 х,

12 х = 60,

х = 5 (%).

Ответ: концентрация получившегося вещества равна 5 %.

Задача 2.

Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Поскольку количество вещества одинаково, то массу каждого раствора можно принять равной 1 кг. Тогда масса смеси равна 1 + 1 = 2 (кг).

Как и в предыдущей задаче, применим квадрат Пирсона.

Опять применим первую формулу:

15 ∙ 1 + 19 ∙ 1 = 2 х,

2 х = 34,

откуда х = 17 (%).

Ответ: концентрация смеси равна 17 %.

Задача 3.

Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Общий объем смеси равен 4 + 6 = 10 (л).

Составим уравнение по формуле (1):

10 х = 15 ∙ 4 + 25 ∙ 6,

10 х = 210,

х = 21 (%).

Ответ: концентрация смеси равна 21 %.

Задача 4.

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй - 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Решение.

Пусть масса первого сплава равна х кг,

тогда масса второго сплава - (200 - х) кг.

Воспользуемся формулой (1):

10 х + 30 ∙ (200 - х) = 25 ∙ 200,

10 х + 6000 - 30 х = 5000,

20 х = 1000,

х = 50 (кг) - масса первого сплава.

200 - х = 200 - 50 = 150 (кг) - масса второго сплава.

150 - 50 = 100 (кг) - разность масс второго и первого сплавов.

Ответ: на 100 кг меньше.

Задача 5.

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй - 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение.

Построим квадрат Пирсона и сложим два выражения, записанные справа от квадрата. Согласно формуле (2), эта сумма равна 0.

Получаем уравнение:

20 х - 10 (х + 3) = 0,

откуда х = 3 (кг) - масса первого сплава,

тогда х + 3 = 3 + 3 = 6 (кг) - масса второго сплава.

Масса третьего сплава равна:

3 + 6 = 9 (кг).

Ответ: 9 кг.

Задача 6.

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение.

Пусть масса первого раствора равна х кг, а второго - y кг.

Заполним квадраты для трех растворов:

По формуле (2) составим систему линейных уравнений:

6 х - 24 y + 360 = 0,

11 х - 19 y - 90 = 0,

из которой получаем х = 54 (кг).

Ответ: 54 кг.

Задача 7.

Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй - 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение.

Пусть процентное содержание вещества в первом растворе равно х %, а во втором - y%.

При заполнении первого квадрата масса смеси равна 30 + 20 = 50 (кг), а во втором - примем массы растворов равными 1 кг, тогда общая масса смеси равна 1 + 1 = 2 (кг).

Составим систему уравнений:

30 х + 20 y = 3400,

х + y = 140,

откуда х = 60 (%).

Масса кислоты, содержащейся в первом сосуде, равна

60 % (от 30 кг) = 0,6 ∙ 30 = 18 (кг).

Ответ: 18 кг.

Задача 8.

Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие - 15% воды. Сколько получится сухих грибов из 34 кг свежих грибов?

Решение.

Содержание воды в свежих грибах 90 %, следовательно, содержание «мякоти» равно 10 %. А в сушеных грибах содержится 100 - 15 = 85 (%) «мякоти».

В качестве второго «раствора» можно рассматривать 0 кг грибов с содержанием «мякоти» 0 %.

Тогда квадрат Пирсона выглядит так:

Составим и решим уравнение:

85 х = 34 ∙ 10 + 0,

откуда х = 4 (кг).

Ответ: 4 кг свежих грибов.

Задача 9.

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Решение.

По аналогии с предыдущей задачей содержание «мякоти» в винограде равно 100 - 90 = 10 (%), а в изюме - (100 - 5) = 95 %.

Составим уравнение по формуле (1):

10 х = 95 ∙ 20,

х = 190 (кг).

Ответ: 190 кг винограда.

Задача 10. Ну, а эта задача решается совсем просто.

Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35 % золота, а во втором - 60 %. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40 % золота?

Решение.

Построим квадрат Пирсона согласно условию задачи.

Очевидно, что сплавы надо взять в пропорции 20 : 5 = 4 : 1.

Ответ: первого сплава надо взять в 4 раза больше, чем второго.

Литература

1. Задачи открытого банка заданий по математике. mathege.ru/or/ege/ShowProblems?offsetStr=36&posMask=1024&showProto=true

2. Азия, А.П. Вольпер, И.М. Квадрат Пирсона / А. П. Азия А., И. М. Вольпер// Квант. - 1973. - № 3. - С. 61. kvant.mccme.ru/1973/03/kvadrat_pirsona.htm