"Неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции"

Мурочкина Юлия Григорьевна, учитель математики высшей квалификационной категории

Цели урока:

Создание условий, при которых ученики -

образовательные: открывают и осваивают методы решения неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции
развивающие: учатся логически мыслить, критически оценивать свои знания
воспитательные:формируют эмоционально-ценностное отношение к своей учебной деятельности, что ведет к развитию качеств личности: нравственным, этическим, познавательным, трудовым.

(Две последние цели решаются не одним уроком, а системой уроков)

Ход урока

1. Приветствие учеников, постановка целей урока.

2. Проверка домашнего задания

приложение 1

Один ученик готовит у доски решение примера, с остальными в это время проводится фронтальная работа. У каждого ученика сигнальные карточки с буквами а, б, в, г. Учитель называет задание, ученик поднимает карточку с верным ответом.

Ответы: 1 - а, 2 - г, 3 - б, 4 - в, 5 - б, 6 - а, 7 - а, 8 - нет верного ответа, 9 -

Проверяется решение уравнения домашнего задания.

3.

На одном из прошлых уроков мы с вами изучали уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции. Какие типы уравнений вы знаете? (Учащиеся перечисляют:

• 1) уравнения, левая и правая части которых являются одноименными тригонометрическими функциями,

• 2) уравнения, левая и правая части которых являются разноименными тригонометрическими функциями,

• 3) метод замены,

• 4) уравнения, сводимые к алгебраическим).

На стенде к уроку напоминаются формулы решения уравнений.

Давайте, ребята вспомним, какими методами мы с вами решали тригонометрические неравенства (учащиеся перечисляют). В чем заключается метод интервалов?
Методы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции (их классификация), схожи с методами неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Рассмотрим их.

• Неравенства, левая и правая части которых являются одноименными обратными тригонометрическими функциями.

Вывешивается плакат

Учащиеся записывают формулы в тетрадь.

Рассмотрим пример: приложение 2

• Неравенства, левая и правая части которых, являются разноименными обратными тригонометрическими функциями.

Рассмотрим пример: приложение 3

• Замена переменной.

Рассмотрим пример: приложение 4

• Использование свойств монотонности и ограниченности обратных тригонометрических функций.

Давайте, ребята, вспомним, какие теоремы мы с вами использовали при решении уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции этим методом? (Учащиеся отвечают).

Рассмотрим пример: приложение 5

• Неравенства, сводимые к алгебраическим.

Рассмотрим неравенство: приложение 6

4. Постановка домашнего дифференцированного задания.

Раздаются листочки с примерами домашнего задания каждому ученику. Нужно определить метод решения неравенства. На «3» нужно решить 3 неравенства на первые 3 метода, рассмотренные на уроке, на «4» - 4 неравенства на любые 4 метода, рассмотренные на уроке, на «5»- 5 неравенств всеми методами, рассмотренными на уроке. На следующем уроке тетради собираются учителем на проверку.

5. Итоги урока, объявление оценок.

Использованная литература: Газета «Первое сентября. Математика», № 13\2000г.

Приложение 1

Решите уравнение: arcsin 2x + arcсos (6x-2) - = 0

Решение:

Пусть arcsin 2x = , Следовательно, sinx

arcсos (6x-2) = -

0-, cos(-)=6x-2

cos(-)=coscos + sinsin

Так как , то cos . При условии, что -10x+4, то есть x, возведем обе части равенства в квадрат: 3cos² = 16 - 80x + 100x².

cos² = - x + x².

cos² + sin²=1

16 - 80x + 100x² + 12x²=3

112x² - 80x + 13=0

Уравнение имеет 2 корня, один из которых x =не удовлетворяет условию x. Значит, x=.

Ответ: x=.

Приложение 2

Решить неравенство: arcos (x² - 3) arcos (x + 3)

Решение:

arcos (x² - 3) arcos (x + 3)

Решением системы является

Ответ: .

Приложение 3

Решить неравенство: arcsin arccos

Решение:

Рассмотрим функцию f(x) = arcsin - arccos .

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем область определения функции:

Откуда получаем: .

Найдем нули функции. Для этого вспомним уравнение, которое решали на прошлом уроке arcsin = arccos . Корень x=1.

f()=arcsin - arccos = arcsin - arccos = arcsin >0 (показать по грфику фнкции y = arcsin x)

f(-2) = arcsin 0 - arccos (-1) = 0 - (-arccos 1) = - <0.

Ответ:

Приложение 4

Решить неравенство: arccos² x - 3 arccos x + 2

Решение:

Произведем замену: arccos x =t, t

t² - 3t + 2 0

(t-1)(t-2)0

Учитывая условие t , получаем

Ответ:

Приложение 5

Решить неравенство: arccos x + arcos x + arcos x

Решение:

Левая часть неравенства представляет собой монотонно убывающую на функцию f(x) = arccos x + arcos x + arcos x. Следовательно, уравнение f(x)= имеет не более одного корня: x= (решали на прошлом уроке).

Значит, решением неравенства arccos x + arcos x + arcos x будет промежуток

Можно дать примерную графическую иллюстрацию:

Ответ: .

Приложение6

Решить неравенство: arcsin 2x + arcсos (6x-2)

Решение:

Рассмотрим функцию f(x) = arcsin 2x + arcсos (6x-2) - и решим неравенство

f(x) методом интервалов.

Найдем область определения функции f(x) = arcsin 2x + arcсos (6x-2) - :

Найдем нули функции f(x), для этого вспомним пример из домашнего задания, разобранного на доске в начале урока. x =

f()=arcsin + arccos (-1) - = arcsin + >0

f() = arcsin 1 + arccos 1 - = - <0.

Ответ: