- Преподавателю
- Математика
- Конспект по математике на тему: Производная
Конспект по математике на тему: Производная
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Шаляпина О.Р. |
Дата | 06.02.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Министерство образования Оренбургской области
государственное автономное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Бугурусланский нефтяной колледж»
г. Бугуруслана Оренбургской области
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ОТКРЫТОГО УРОКА
Дисциплина: ОДП. 10 «Математика»
Группа: 112
Специальность: 43.01.02«Парикмахер»
Преподаватель: Шаляпина Олеся Руслановна
Дата: 13.03.2015 г.
П(Ц)К: общеобразовательных дисциплин
Бугуруслан, 2015
Группа
Дата
Занятие №
22.10.2014 г.
Тема: Произоводная
Тип занятия: комбинированный
Цели:
-
Образовательная:
-
повторить формулы на преобразование тригонометрических выражений;
-
изучить: понятие производной функции, правила вычисления производных;
-
понять таблицу производных и суметь ее применять при решении заданий.
-
Развивающая:
-
развивать умение работать в группе;
-
развивать логическое мышление.
-
Воспитывающая:
-
воспитывать чувство такта, математическую культуру;
-
интерес к углубленному изучению математики.
Результат занятия: после проведения занятия студенты должны:
-
знать: как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости;
-
уметь: решать уравнения с помощью производной функции.
Оборудование: учебник, раздаточный материал, картинки для рефлексиию
Литература:
-
Математика. 10 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова [и др.]. - 8-е изд., стер. - М. : Мнемозина, 2013. - 431 с. : ил.
-
Поурочные разработки по математике. 10 класс. К УМК А.Г. Мордковича
-
obrazovanie66.ru/main_prof.php?profid=342
-
go.mail.ru/search_images
Организационная структура занятия
Этап занятия
Время
Деятельность преподавателя
Деятельность студента
Форма организации совзаимодействия на уроке
-
Орг. момент. мотивацияч к учебной деятельности.
2 минуты
Создание положительного эмоционального настроя.
Приветствие преподавателя. гостей
Фронтальная
-
Актуализация знаний. Выявление темы урока.
-
7 минут
-
Проблемное задание
-
Раздача заданий
-
Историческая справка
Решение тестов
Индивидуальная
Фронтальная
-
Целеполагание.
1 минута
Постановка целей занятия
Постановка целей для реализации.
Фронтальная
-
Первичное усвоение новых знаний
15 минут
Помощь студентам в объяснении нового материала.
Работа в группах по заданиям. Объяснение новой темы студентами.
Групповая
Динамическая пауза
1 минута
Физминутка
Фронтальная
-
Первичная проверка понимания
10 минут
Задает вопросы. Помощь в решении номеров.
Ответ на вопросы. Решение номеров № 27.1 (а, в), № 27.13 (а, в)
Фронтальная
-
Контроль усвоения
4 минуты
Раздача материала.
Решение задания в группе. Собрание пазла.
Групповая
-
Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.
2 минуты
№ 27.1 (б, г), № 27.13 (б, г)
Запись д/з
Фронтальная
-
Итог занятия
1 минута
Выставление отметок
Фронтальная
-
Рефлексия
2 минуты
Рефлексия цветом.
Фронтальная
Преподаватель: __________ /О.Р. Шаляпина/
Тема: Произоводная
Тип занятия: комбинированный
Цели:
1. Образовательная:
• повторить формулы на преобразование тригонометрических выражений;
• изучить: понятие производной функции, правила вычисления производных;
• понять таблицу производных и суметь ее применять при решении заданий.
2. Развивающая:
• развивать умение работать в группе;
• развивать логическое мышление.
3. Воспитывающая:
• воспитывать чувство такта, математическую культуру;
• интерес к углубленному изучению математики.
Результат занятия: после проведения занятия студенты должны:
• знать: как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости;
• уметь: решать уравнения с помощью производной функции.
Оборудование: учебник, раздаточный материал, картинки для рефлексиию
Литература:
1. Математика. 10 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова [и др.]. - 8-е изд., стер. - М. : Мнемозина, 2013. - 431 с. : ил.
2. Поурочные разработки по математике. 10 класс. К УМК А.Г. Мордковича
3. obrazovanie66.ru/main_prof.php?profid=342
4. go.mail.ru/search_images
Ход занятия:
-
Орг. момент. Мотивация к учебной деятельности.
П: Здравствуйте. Садитесь. Сегодня, на нашем уроке присутствуют гости, но мы не должны пугаться этого, а наоборот, показать не только все, что мы знаем, но и познать много нового. А еще, ваша будущая профессия не только одна из самых древних, но и одна из самых массовых. Но массовых не в том смысле, что вас много, а в том, что к вам ходит очень много людей различных профессий. Хороший мастер посредством своей работы должен не только подчеркнуть достоинства и скрыть недостатки лица посетителя с помощью хорошей прически, но и быть коммуникабельным, тактичным, деликатным и терпеливым. Как вы думаете, для чего я вам все это рассказываю?
С: Для того, чтобы мы поняли, что математика нужна нам для того, чтобы развивать свое логическое мышление, чтобы мы могли общаться со своими клиентами на математические темы, если таковые нам понадобятся
П: Для работы сегодня я разделила вас на группы. Как нужно работать в группах?
С: Работать дружно, не перебивать друг друга, помогать друг другу.
П: Заранее вы выбрали командиров для своих групп, которые будут оценивать вашу работу на уроке, но в этом вы должны им помогать. На каждом столе лежат бланки со списками и критериями оценивания. Если студент на данном этапе работал много, то ему ставится галочка, если просто помогал, подсказывал, то плюсик. по вашим галочкам и плюсикам будут выставлены отметки в конце занятия.
-
Актуализация знаний. Выявление темы урока.
П: Посмотрите внимательно на слайд. Как решается данное упражнение?
Что в нем необычного? Как может называться такое уравнение?
Для того, чтобы это узнать вы берете в руки тестовые задания, которые лежат у вас на столах и прорешиваете их. В конце теста есть табличка, куда вы записываете только букву правильного ответа. Отсюда вы и узнаете тему нашего урока.
Выберите номер правильного ответа.
Буквы, которые стоят перед правильным ответом, впишите в таблицу.
Получите тему сегодняшнего урока.
-
Окрестностью какой точки является интервал (-22,4; -12,4)?
Б) -15, 4 В) 17, 4 А) 15,4 П) - 17, 4
-
Чему равен предел стационарной последовательности?
Д) 0 Л) 1 Р) значению любого члена последовательности Г) любому числу
Вычислите предел числовой последовательности при n ∞
3. xn =
А) 0 О) -1 Е) 3 Г) 1
4. xn =
Ю) 3 И) 7 Т) 1 Ь) 0
5. xn =
З) Д) О) 0 Е) 1
6.
Ф) -1 В) 0 д) 5 Э) 1
7.
О) 0 С) -17 М) 3 Я) ∞
8.
И) 7 Д) 0 Н) 3 К) -1
9.
Ж) 1/2 Ъ) 5 Н) 0 Ю) 1
10.
А) 5 Ы) 0 Ч) 5/2 Ц) 2
11.
Т) 3 З) -1 Б) 0 Я) 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Историческая справка (видеоролик):
Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова deriveе, которое ввел в 1797 году Ж. Лагранж (1736 - 1813); он же ввел современные обозначения у', f '. Исаак Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию - флюентой. Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как .
Систематическое учение о производных развито Лейбницем и Ньютоном. Если Ньютон находил в основном из задач механики, то Лейбниц по преимуществу находил из геометрических задач. Свои результаты в этой области Ньютон изложил в трактате, названным им «Метод флюксий и бесконечных рядов», но его трактат был опубликован лишь посмертно в 1736 г. Первая печатная работа по дифференциальному исчислению была опубликована Лейбницем в 1684 г., озаглавленная «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не являются препятствием дробные и рациональные количества, и особый для этого род исчисления».
-
Целеполагание.
П: Какие цели вы хотели бы реализовать на этом уроке?
-
Первичное усвоение новых знаний.
П: Итак, на каждом столе лежит запакованный конверт. Никто не знает, что в этом конверте. Сейчас, вы должны распаковать свои конверты и рассмотреть материалы, которые в них находятся, материалы размножены в трех экземплярах, чтобы каждый смог прочитать и сделать для себя записи. Затем, командир распределит работу во всей группе так, чтобы каждый член группы мог внести свою лепту в объяснение темы. Также в каждом конверте находится чистая бумага, фломастеры и цветные карандаши для образного восприятия темы. Следующим пунктом нашего занятия будет объяснение того материала, который находится в ваших конвертах всей группе. Для этого вы должны будете выбрать двух человек с группы, для того, чтобы они объяснили тему у доски: один из них объясняет, а другой показывает на рисунках. Приступайте.
(Работа студентов по группам)
П: Часто бывает так, что, решая задачи, очень далекие друг от друга по содержанию, мы приходим к одной и той же математической модели. Сила математики состоит в том, что она разрабатывает способы оперирования с той или иной математической моделью, которыми потом пользуются в других областях знаний. Вы умеете работать со многими математическими моделями - уравнениями, неравенствами, системами уравнений, системами неравенств и др. В этом параграфе речь пойдет о принципиально новой для вас математической модели. Сначала рассмотрим две различные задачи, физическую и геометрическую, процесс решения которых как раз и приводит к возникновению новой математической модели. Итак , консультанты первой группы идут нам рассказывать о материале, который изучали.
С: Задача 1 (о скорости движения). По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой s=s (t), где t - время (в секундах), s (t) - положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).
Решение. Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке М(рис. 114), пройдя путь от начала движения ОМ = s{t). Дадим аргументу t привращение и рассмотрим момент времени Координата материальной точки стала другой, тело в этот момент будет находиться в точке
Значит, за секунд тело переместилось из точки М в точку Р, т.е. прошло путь МР. Имеем:
Полученную разность мы назвали в § 31 приращением функции:
Путь тело прошло за секунд. Нетрудно найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени
А что такое скорость v (t) в момент времени t (ее называют иногда мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени выбирается все меньше и меньше; иными словами, при условии, что
Подводя итог решению задачи 1, получаем:
П: Прежде чем сформулировать вторую задачу и приступить к ее решению, обсудим вопрос, что следует понимать под касательной к плоской кривой. Термином «касательная» мы уже пользовались (на интуитивном уровне) в курсе алгебры 7-9-го классов. Например, мы говорили, что парабола у = х2 касается оси х в точке х=0 или, что то же самое, ось х является касательной к параболе у = х2 в точке х=0 (рис. 115). Иделоне в том, что ось х и парабола имеют одну общую точку. Ведь ось у тоже имеет с параболой у = х2 одну общую точку, однако у вас не возникнет желания назвать ось у касательной к параболе. Обычно касательную определяют следующим образом.
Дана кривая Ь (рис. 116), на ней выбрана точка М. Возьмем еще одну точку на кривой, причем достаточно близкую к М, - точку Р. Проведем секущую МР. Далее будем приближать точку Р по кривой Ь к точке М. Секущая МР будет изменять свое положение, она как бы поворачивается вокруг точки М. Часто бывает так, что можно обнаружить в этом процессе прямую, представляющую собой некое предельное положение секущей; эту прямую - предельное положение секущей - называют касательной к кривой Ь в точке М.
Поставим эксперимент: возьмем параболу у = х2, проведем секущую ОР, где О - вершина параболы, Р - текущая точка. Возьмем точку Р поближе к О, проведем вторую секущую. Возьмем точку Р еще ближе к О, проведем третью секущую и т.д. Вы обнаружите, что предельным положением этих секущих будет ось х - это и есть касательная к параболе в ее вершине (что соответствует нашим интуитивным представлениям). А сейчас, о геометрическом смысле производной нам расскажет вторая подгруппа.
С: Задача 2 (о касательной к графику функции). Дан график функции у = f(х). На нем выбрана точка М(а; f(а)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.
Решение. Дадим аргументу приращение Ах и рассмотрим на графике (рис. 117) точку Р с абсциссой . Ордината точки Р равна Угловой коэффициент секущей МР, т.е. тангенс угла между секущей и осью х, вычисляется по формуле
Если мы теперь устремим Ах к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной
Используя приведенную выше формулу для
П: Подведем итоги. Две различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели - пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Многие задачи физики, химии, экономики и т.д. приводят в процессе решения к такой же модели. Значит что нам надо сделать?
С: Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.:
а) присвоить ей новый термин;
б) ввести для нее обозначение;
в) исследовать свойства новой модели.
П: Этим и займется третья подгруппа.
С: Определение 1. Пусть функция у =f(х) определена в конкретной точке х и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу х приращение f(х), такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции Если существует предел этого отношения при условии то указанный предел называютпроизводной функции у = f(х) в точке х и обозначают f'(х).
Итак,
Для обозначения производной часто используют символ у'.
Отметим, что у'=f'(х) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией у = f(x), определенная во всех таких точках х, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у =f(х).
В примере 6 § 31 мы доказали, что для линейной функции у =кх + m справедливо равенство:
Это означает, что у'=к или, подробнее,
В примере 7 § 31 мы доказали, что для функции у = х2 справедливо равенство
Это означает, что у'=2х или подробнее,
Рассмотренные в п. 1 задачи 1 и 2 позволяют истолковать производную с физической и геометрической точек зрения.
Физический (механический) смысл производной состоит в следующем. Если s(t) - закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t.
На практике во многих отраслях науки используется обобщение полученного равенства: если некоторый процесс протекает по закону s =s (t), то производная s'(t) выражает скорость протекания процесса в момент времени t.
Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой х=а можно провести касательную, непараллельную оси у, то f'(а) выражает угловой коэффициент касательной (рис. 119):
Поскольку к =tga, то верно равенство f'(а) =1tg а (рис. 119).
А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция у = f(х) имеет производную в конкретной точке х:
Это означает, что в достаточно малой окрестности точки х выполняется приближенное равенство:
Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной (в заданной точке х). Например, для функции у = х2 справедливо приближенное равенство
Если функция у = f(х) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру отыскания производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).
П: Итак, сделаем вывод: если внимательно прочитать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм отыскания производной. Сформулируем его.
П: Приведем примеры:
Пример 1. Найти производную постоянной функции у =С.
Решение. Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.
1) Для фиксированного значения х имеем: f (х) = С.
Пример 2. Найти производную функции .
Решение. Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.
1) Для фиксированного значения х (разумеется, мы полагаем, что
-
Первичная проверка понимания .
П: Что же такое производная? Какие формулы для вычисления производной мы изучили?
Выполним № 27.1 (а, в). К доске идет…
Решение:
Выполним № 27.13 (а, в)
Решение:
Резерв: № 27.9
Решение:
-
Контроль усвоения
П: Я раздаю вам небольшие листочки, на которых даны задания по теме. Командир раздает каждому из вас по 1-2 задания и с помощью ответов собираете пазл, который вы склеиваете при помощи скотча и вешаете на доску. У всех трех групп должно получиться 1 выражение, которое символизирует сегодня наш урок. А пока вы решаете примеры, командиры, пожалуйста, принесите мне листочки с вашими отметками. (Величие человека - в его способности мыслить) Как вы понимаете это выражение?
-
Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению .
Дома вы выполняете № 27.1(б, г), № 27.13 (б, г). Посмотрите в учебники и скажите, что вам может быть непонятно при решении заданий?
-
Итог занятия.
Реализованы ли цели, которые вы поставили для себя в начале занятия? Что нового для себя вы узнали?
-
Рефлексия.
На доске висит картинка. Но эта девушка немного грустна, т.к. на ее волосах не хватает аксессуаров. Сейчас мы это исправим. На столе лежат бантики трех цветов: красные, желтые и зеленые. Вы должны будете повесить эти бантики на волосы девушки. Зеленый цвет вешают те студенты, которым понравился урок и тема им была понятна, желтый - если урок вам понравился, но тему вы недопоняли, а красный - если вы ничего не поняли на уроке и он вам не понравился.
Спасибо за занятие. До свидания.