Исследовательская работа учащегося Старая-старая задача о мостах Кенигсберга

Муниципальное автономное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №6» г.Перми

История математики

Старая-старая задача о мостах Кенигсберга

Выполнил: Железнов Егор,

ученик 10 «а» класса

Руководитель: Орлова Е. В.,

учитель математики

2014, г. Пермь

Содержание

Введение …………………………………………………………………………..3

История мостов Кенигсберга …………………………………………................4

Задача о семи мостах Кенигсберга ………………………………………….......8

Вычерчивание фигур одним росчерком ……………………………………….12

Заключение ………………………………………………………………………15

Список литературы...…………………………………………………………….16

Приложение 1 ……………………………………………………………………18

Приложение 2 ……………………………………………………………………22

Приложение 3 ……………………………………………………………………23

Приложение 4 ……………………………………………………………………26

Ведение

Кенигсберг - это историческое название Калининграда, центра самой западной области России, знаменитой своим мягким климатом, пляжами и изделиями из янтаря. Калининград обладает богатым культурным достоянием. Здесь в свое время жили и трудились великий философ И. Кант, сказочник Эрнст Теодор Амадей Гофман, физик Франц Нейман и многие другие, чьи имена вписаны в историю науки и творчества. С Кенигсбергом связана одна интересная задача, так называемая задача о мостах Кенигсберга.

Цель нашего исследования: изучить историю возникновения задачи о мостах Кенигберга, рассмотреть её решение, выяснить роль задачи в развитии математики.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

• изучить литературу по данной теме;

• систематизировать материал;

• подобрать задачи в решении которых используется прием решения задачи о мостах Кентгсберга,;

• составить библиографический список литературы.

1. История мостов Кенигсберга

Возникший в XIII веке город Кёнигсберг (ныне Калининград) состоял из трёх формально независимых городских поселений и ещё нескольких «слобод» и «посёлков». Расположены они были на островах и берегах реки Прегель (ныне Преголя), делящей город на четыре главные части: Альтштадт, Кнайпхоф, Ломзе и Форштадт. Для связи между городскими частями уже в XIV веке стали строить мосты. В связи с постоянной военной опасностью со стороны соседних Польши и Литвы, а также по причине междоусобиц между Кёнигсбергскими городами (в 1454-1455 году между городами даже произошла война, вызванная тем, что Кнайпхоф перешёл на сторону Польши, а Альтштадт и Лёбенихт остались верны Тевтонскому ордену) в Средние века кёнигсбергские мосты имели оборонные качества. Перед каждым из мостов была построена оборонительная башня с закрывающимися подъёмными или двустворчатыми воротами из дуба и с железной кованой обивкой. Да и сами мосты приобретали характер оборонительных сооружений. Опоры некоторых мостов имели пятиугольную форму, типичную для бастионов. Внутри этих опор располагались казематы. Из опор можно было вести огонь через амбразуры.

Мосты были местом шествий, религиозных и праздничных процессий, а в годы так называемого «Первого русского времени» (1758-1762 годы), когда во время Семилетней войны Кёнигсберг ненадолго вошёл в состав Российской империи, по мостам проходили православные крестные ходы. Один раз такой крестный ход даже был посвящён православному празднику Водосвятия реки Прегель, вызвавшему неподдельный интерес у жителей Кёнигсберга.

К концу 19 века в Кёнигсберге было построено 7 основных мостов (Приложение 1).

Самый старый из семи мостов Лавочный мост (Krämerbrücke/ Крэмер-брюке). Он был построен в 1286 году. Само название моста говорит само за себя. Площадь, которая прилегала к нему, была местом оживлённой торговли. Он связывал два средневековых города Альтштадт и Кнайпхоф. Построен он был сразу же в камне. В 1900 году он был перестроен и сделан разводным. По мосту стали ходить трамваи. Во время войны он был сильно разрушен, но восстановлен, пока в 1972 году не был демонтирован.

Вторым по возрасту был Зелёный мост (Grüne Brücke/Грюне-брюке). Он был построен в 1322 году. Этот мост связал остров Кнайпхоф с южным берегом Прегеля. Он так же был каменным и трёхпролётным. В 1907 году мост был перестроен, средний пролёт стал разводным и по нему стали ходить трамваи. Во время войны этот мост сильно пострадал, был восстановлен, а в 1972 году - демонтирован. Название моста происходит от цвета краски, в который традиционно красили опоры и пролётное строение моста. В XVII веке у Зелёного моста гонец раздавал прибывшие в Кёнигсберг письма. В ожидании корреспонденции здесь собирались деловые люди города. Здесь же в ожидании почты они обсуждали свои дела. Неудивительно, что именно в непосредственной близости от Зелёного моста в 1623 году была построена кёнигсбергская торговая биржа. В 1875 году на другом берегу Прегеля, но также в непосредственной близости от Зелёного моста было построено новое здание торговой биржи, сохранившееся до сих пор (ныне Дворец культуры моряков). В 1972 году вместо Зелёного и Лавочного мостов был построен Эстакадный мост.

После Лавочного и Зелёного был построен Рабочий мост (Koettelbrucke/ Кёттель или Киттель-брюке), также соединявший Кнайпхоф и Форштадт. Иногда название также переводят как Потроховой мост. И тот, и другой вариант перевода не является идеальным, так как немецкое название происходит из Саксонии и по-русски означает примерно «рабочий, вспомогательный, предназначенный для провоза мусора» и.т.п. Этот мост был построен в 1377 году. Он соединил город Кнайпхоф с пригородом Форштадт. Мост был наполовину каменным, а пролёты - деревянные настилы. В 1621 году, во время сильного наводнения, мост сорвало и унесло в реку. Мост возвратили на место. В 1886 году его заменили новым, стальным, трёхпролётным, разводным. По нему тоже ходили трамваи. Мост был разрушен во время Второй мировой войны и позднее не восстанавливался.

В 1397 году был построен Кузнечный мост (Schmiedebrücke/Шмиде-брюке). Как и Лавочный мост, он соединял город Альтштадт на северном берегу с островом Кнайпхоф. Название моста характерно для средневекового города, так как кузнецы играли тогда важную роль и были всеми уважаемы. Этот мост тоже был с каменными опорами и деревянными пролётами. В 1896 году его перестроили, пролёты его стали стальными, а вот трамвайные пути обошли стороной. Во время войны он был разрушен. В советское время около опор моста находился плавучий ресторан.

Деревянный мост (Holzbrücke/Хольц-брюке)мост был построен в 1404 году и связал остров Ломзе ( ныне остров Октябрьский) и город Лёбенихт. До этого на северном берегу Нового Прегеля существовала паромная переправа, но, а название уму дали по названию материала, из которого он был сделан. Таким он простоял 500 лет, и только в 1904 году был заменён новым, а вот название осталось прежним. На Деревянном мосту находилась памятная доска с выдержками из «Прусской хроники» Альбрехта Лухела Давида. Этот десятитомный труд повествовал о языческой Пруссии и истории Тевтонского ордена до 1410 года. Очень интересно оформление чугунного ограждения моста - были использованы лесные сюжеты. Мост тоже был разводным, по нему ходили трамваи, во время войны был разрушен, но очень быстро восстановлен. В 60-х годах этот мост попал в кадр в фильме "Отец солдата", который снимали в Калининграде. Мост существует и функционирует до сих пор, правда разводной механизм пришёл в негодность.

Остров Ломзе - это низменная, болотистая местность , часто затопляемая во время половодий. Строительство домов на острове началось с 1455 года и тогда же была заложена ивовая дамба, которая в последствии стала улицей Октябрьской. В 1520 году был построен новый мост через Старый Прегель. Этот мост был выше других мостов из-за дамбы, и поэтому ему дали название Высокий мост (Hohe Brücke/Хоэ-брюке), который дал городу Альтштадту свой путь в Натангию, минуя остров Кнайпхоф и пригород Форштадт. В 1882 году мост был перестроен, при этом был возведён так называемый «мостовой домик», помещение для механизмов развода моста и т. п. Это красивое небольшое здание в стиле неоготики, несколько напоминающее замок в Диснейленде, сохранилось до сих пор. Сам старый Высокий мост был снесён в 1888 году, а в нескольких десятках метров от него был возведён новый Высокий мост, сохранившийся до сих пор и служащий подспорьем для пешеходов, автомобилей и трамваев. От старого Высокого моста сохранились опоры.

Самый молодой из семи мостов - Медовый мост (Honigbrücke/Хониг-брюке). Этот мост был возведён в 1542 году жителями города Кнайпхоф, в пику городу Альтштадту. Благодаря ему кнайпхофцы получили собственный выезд на остров Ломзе, и далее, через Высокий мост, в Натангию. По этому первоначальное имя моста звучало как "Насмешливый", а позднее Медовый. По преданию, за право владения мостом, хозяин близлежащей лавки расплатился с властями большим количеством мёда. На острове Ломзе перед Медовым мостом находилась площадь - Бычий рынок. На площади стояли фахверковые склады, а за ними особняки с садами. Здесь же находился дом, где жил Кант (1775 - 1783 г.), чтобы Канту попасть на работу, ему достаточно было перейти Медовый мост и свернуть направо, там находился университет "Альбертина". В 1882 году мост был полностью перестроен, средний пролёт стал разводным, перила изготовила фирма "Кузнеца на Печатной". Как и Высокий и Деревянный мосты, Медовый мост сохранился до сих пор, но в отличие от них приобрёл практически исключительно пешеходный характер, так как сейчас на острове Кнайпхоф расположены только кафедральный собор (главная достопримечательность города) и парк скульптур, и проезд частного автотранспорта туда запрещён.

2. Задача о семи мостах Кенигсберга

Семь мостов Кенигсберга прославились не столько своими уникальными свойствами, сколько старинной неразрешимой головоломкой. Горожане придумали задачу: найти маршрут, который начинался бы и заканчивался в одном месте и проходил по каждому мосту ровно один раз. Многочисленные попытки решить эту задачу, перебирая все маршруты, заканчивались неудачей. Задачей заинтересовался великий математик Леонард Эйлер¹⁶ (Приложение 2). Вот перевод латинского текста, который взят из письма Эйлера к итальянскому математику и инженеру Маринони, отправленного из Петербурга 13 марта 1736 года:

"Некогда мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто семь мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не мог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство... После долгих размышлений я нашел легкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может".³

В 1736 году Леонард Эйлер представил в Санкт-Петербургскую академию наук свою работу Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, содержавшую решение этой задачи.

Для решения задачи Кенигсбергские мосты можно изобразить схематически:
Здесь А обозначает остров, а В, С и D - части суши, отделенные друг от друга рукавами реки. Семь мостов обозначены буквами a,b,c,d,e,f,g.³

Позже Эйлер придумал геометрическую модель к этой задаче⁶. На модели (рис.2) он заменил каждую часть суши точкой (A, B, C и D), а мосты - линиями, соединяющими соответствующие точки¹⁶.

Рис.2

В современной терминологии такая конструкция, состоящая из точек и соединяющих их линий, называется графом, точки - вершинами (или узлами), а линии - ребрами (или ветвями) графа. Граф, любые две вершины которого соединены последовательностью ребер, называется связным. Эйлер обобщил постановку задачи о кенигсбергских мостах и нашел критерий нахождения на графе замкнутого маршрута, содержащего все ребра.

Требование связности очевидно: если имеется изолированная часть графа, то ее не достигнешь и не обойдешь. Далее, для того, чтобы пройти через вершину, зайти по одному ребру и выйти по другому - это два ребра, значит, если ребер нечетное количество, то в очередной раз из вершины нет выхода. Следовательно, число ребер, проходящих через вершину, должно быть обязательно четным¹⁵.

Число ребер, проходящих через вершину, называется степенью вершины¹⁵.В своем письме инженеру Маринони Эйлер писал: "Далее нужно различать, является ли число мостов, ведущих к этим отдельным участкам, четным или нечетным. Так, в нашем случае к участку A ведут пять мостов, а к остальным - по три моста"³.

То есть нужно определить степень каждой вершины и узнать степени каких вершин четные, а какие нечетные²⁰. Обозначим символом r(P) степень вершины P^16. Тогда r(A) = 5, r(B) = r(C) = r(D) = 3 (рис.2).

"Когда это определено, применяем следующее правило: если все вершины имеют четную степень, то тогда обход, о котором идет речь, возможен, и начать этот обход можно с любого участка. Если же из этих вершин две нечетные, то и тогда можно совершить переход, как это предписано, но только начало обхода непременно должно быть взято в одной из этих двух вершин, а конец обхода непременно должен быть во второй нечетной вершине. Если, наконец, больше двух нечетных вершин, то тогда такое движение вообще невозможно..."³.

Так как количество нечетных вершин в графе равно 4, а это > 2, то обойти все Кенигсбергские мосты, проходя только один раз через каждый из этих мостов нельзя.

Из предыдущих рассуждений мы получаем общий прием решения каждой подобной задачи о мостах. Во всяком случае, мы можем сразу убедиться в возможности или невозможности решения. Для этого надо:

1. Нарисовать граф, где вершины - острова и берега, а ребра - мосты.
2.Определить степень каждой вершины и подписать возле нее.
3.Посчитать количество вершин с нечетными степенями.
4. Обход возможен:

a) ЕСЛИ степени всех вершин - четные, и его можно начать с любого участка.
b) ЕСЛИ степени 2 вершин - нечетные, но его нужно начать с одной из нечетных местностей.

5. Обход невозможен, если нечетных вершин больше 2.

6. Сделать вывод.
7. Указать Начало и Конец пути.

Кстати, задаче Эйлера обязан своим появлением еще один мост Кенигсберга - мост Кайзера (Императорский). На одном из светских вечеров кайзеру Вильгельму показали задачу Эйлера и предложили её решить. В духе А.Македонского, разрубившего в своё время Гордиев узел, Вильгельм решил задачу за полторы минуты, просто написав на карте приказ о строительстве нового восьмого моста. Во время войны мост был разрушен, однако к празднованию 750-летия Кёнигсберга-Калининграда мост обрёл новую жизнь под именем "Юбилейный"²³ (Приложение 1)

Позднее в честь великого математика цикл, содержащий все ребра графа, назвали эйлеровой линией (цикл - это замкнутая последовательность ребер и вершин, в которой все ребра различны). Тогда критерий Эйлера можно сформулировать следующим образом: связный граф, степени всех вершин которого четны, обладает эйлеровой линией. Совсем необязательно начинать и заканчивать обход графа в одной и той же вершине, т.е. требование замкнутости можно снять. Тогда требуется, чтобы начало и конец маршрута, содержащего все ребра графа по одному разу, были единственными вершинами графа с нечетными степенями.¹⁶

Мостами Кёнигсберга народная изобретательность в области графов не ограничивалась: существовало (и существует по сей день) множество головоломок, в которых требуется начертить какой-либо сложный рисунок одним росчерком пера, что означает нахождение эйлерова пути. Научные работы этой задаче посвятили швейцарский математик Симон Люилье и французский математик и механик Луи Пуансо.

Как ни странно, до конца XIX века никто не отметил аналогии задачи о мостах Кёнигсберга с чертёжными головоломками. Впервые это сделал британский математик и юрист Вальтер Уильям Рузе Болл в 1892 году²⁴.

2. Вычерчивание фигур одним росчерком²¹

Известен анекдот: некто давал миллион рублей каждому, кто начертит следующую фигуру (рис.3). Но при вычерчивании ставилось одно условие. Требовалось, чтобы фигура эта была вычерчена одним непрерывным росчерком, т. е. не отнимая пера или карандаша от бумаги и не удваивая ни одной линии, други­ми словами, по раз проведенной линии нельзя уже было пройти второй раз.

Надежда стать «миллионе­ром», решив такую легкую зада­чу, может заставить испортить много бумаги и потратить много времени на попытки вычертить эту фигуру, как требовалось, одним рос­черком. Задача, однако, не решается, и это тем до­саднее, что она не решается только «чуть-чуть». Ни­как не удается провести только одной «последней» какой-либо линии. Удается даже открыть секрет, что вся трудность в том, чтобы вычертить сначала одним росчерком, не повторяя линии, еще более простую фигуру -четырехугольник с. двумя диагоналями (рис. 4). Это, казалось бы, уже совсем просто, а все-таки... не удается!..

Сомнения в невозможности решения этой задачи все-таки остаются, тем более что фигуры, гораздо более сложные и трудные с виду, легко вычерчива­ются одним росчерком. Так, например, выпуклый пятиугольник со всеми его диагоналями легко вы­черчивается одним непрерывным движением без по­вторения, причем получается фигура, представленная на рис. 4. То же самое легко удается со всяким много­угольником с нечетным числом сторон и никак не удается с квадратом, шестиугольником и т. д.- сло­вом, с многоугольником с четным числом сторон.

Теперь нам нетрудно будет разобраться и пока­зать, какую из любых данных фигур можно вычер­тить одним росчерком, без повторений линий, а ка­кую нет. Каждую из задач подобного рода можно свести к разобранной уже нами Эйлеровой задаче о мостах.

В самом деле, возьмем, например, четырехуголь­ник ABCD с двумя его диагоналями, пересекающи­мися в Е (рис. 4). Можно ли его вычертить одним непрерывным росчерком, без повторения линий?

Точки А, В, С, D и Е мы представим себе как центры некоторых местностей, разделенных рекой, а линии, соединяющие эти точки,- как мосты, ведущие в эти местности. Что же в данном случае получаем? Пять местностей, из которых четыре нечетные и одна четная. Мы знаем уже, что в таком случае нельзя за один раз обойти все мосты, не переходя ни через один два раза, или, другими словами, нельзя обойти все данные точки одной непрерывной линией без повторения прежнего пути.

Случаи возможности и невозмож­ности вычерчивания одним росчерком фигур совершенно те же, что и в за­даче о мостах. Одна задача, в сущно­сти, сводится к другой.

Всякий нечетный многоугольник со всеми его диагоналями можно вы­чертить одним росчерком без повторения линий по­тому, что этот случай соответствует тому, когда Дан­ные в задаче о мостах местности все четные.

Соображения, изложенные здесь, одинаково при­лагаются ко всякой фигуре, образована ли она пря­мыми или кривыми линиями, на плоскости или в пространстве. Так нетрудно видеть, что можно описать одним непрерывным движением все ребра правильного октаэдра и нельзя этого сделать для четырех остальных правильных выпуклых тел.

Г

Рис.5оворят, что Магомет вместо подписи (он был неграмотен) описывал одним росчерком состоящий из двух рогов Луны знак, представленный на рис.5. И это понятно, потому что в данном случае мы имеем дело только с точками рис.5 четного порядка, а следовательно, вычертить такую фигуру одним рос­черком без повторения тех же линий всегда можно. Всегда можно также вычертить одним росчерком и такую фигуру, где, помимо точек четного порядка, есть и две точки (но не более) нечетного порядка. Весьма красивый и замысловатый образчик такой фигуры заключающий в себе две нечетные точки А и Z, показан на рис. 6. С какой-нибудь из этих то­чек и надо начинать непрерывное вычерчивание фи­гуры, как мы уже знаем из задачи о мостах.

рис.6

Нельзя вычертить одним росчерком фигуры, по­казанные на рис. 7,

п

Рис. 7ри всей их видимой про­стоте, так как в первой восемь, а во второй - две­надцать точек нечетного порядка. Первая может быть вычерчена не менее как четырехкратной, т. е. состоящей из четырех непрерывных кусков, а вторая- не менее как шестикратной линией.

Таких примеров можно подобрать сколько угодно (Приложение 3).

Заключение

В работе

• изложена краткая история мостов Кенигсберга;

• рассмотрено решение задачи о мостах Кенигсберга.

Этой задаче Эйлер посвятил целое математическое исследование, которое положило начало теории графов.

• подобраны задачи, решаемые методом графов.

Теория Эйлера , связанная с графами, имеет практическое применение. Используется она, например, при проектировании некоторых графических приборов; в строительстве при планировании проведения работ; в математике при решении логических задач.

Список литературы

1. Губин А. Б., Строкин В. Н. Очерки истории Кёнигсберга. - Калининград, Калининградское кн. изд-во, 1991.

2. Архитектурные памятники Кенигсберга. Справочник для Калининградцев и гостей города. Калининград, 2005.

3. Леонард Эйлер. Письма к ученым - М.-Л., 1963.

4. Касаткин В. Н. Необычные задачи математики. - Киев, Радяньска школа, 1987(часть 2).

5. Шеренга великих математиков. Варшава: Наша Ксенгарня, 1970.

6. Б.А.Кордемский Великие жизни в математике: Кн. Для учащихся 8 - 11 кл. - М.: Просвещение, 1995.

7. Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: геометрия. Старинные и занимательные задачи: пособие для учащихся 10 - 11 кл. -М.: Просвещение, 2008.

8. У.Болл, Г.Коксетер Математические эссе и развлечения. - М.: Мир,1986.

9. Гарднер М. Математические досуги - М., Мир , 1972(глава 35).

10. "В помощь учителю математики", Йошкар-Ола, 1972 (ст. "Изучение элементов теории графов");

11. Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. Старинные заниматель-ные задачи - М. ,Наука, 1988.

12. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения М., Мир,1972

13. О.Оре Графы и их применение. М.: Мир, 1965.

14. Е.А.Дышинский, А.Е. Малых Материалы к историко-математическому конкурсу для X-XI классов. Пермь: ПГПИ,1991.

15. Е.Е.Гонина. Элементы теории графов. Пермь: ПГТУ, 2006.

16. Е.Е.Гонина. Эта старая-старая задача о кенигсбергских мостах и её современное продолжение. Пермский научно-популярный журнал «Живая математика» № 3, 2008 г.

17. Виленкин В.Я. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений - М.Мнемозина,2001.

18. Перельман Я.И. Занимательные задачи и опыты. - М. Детская литература, 1972.

19. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1989.

20. Разработка факультативного курса по математической логике на тему «Решение задач с помощью графов» - festival.1september.ru

21. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки - М.: Наука, 1984.

22. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1984.

23. Мосты Кенигсберга. Путеводитель независимых туристов. - putevod.su

24. Калининградская область: Следы прошлого. (Сайт Александра Миловского).

25. Семь мостов Кенигсберга - Википедия (ru/wikipedia.ord)

26. Теория графов - сайт ref.by/refs

Приложение 1

Лавочный мост

Зеленый мост

Потроховый мост

Кузнечный мост

Деревянный мост

Высокий мост

Медовый мост. Вид сбоку на

бывший разводной пролёт.

Медовый мост. Остатки разводного механизма.

Кайзера мост

Приложение 2

Леонард Эйлер

Немецкий и русский математик, механик и физик. Родился 15 апреля 1707 г. в Базеле. Учился в Базельском университете (в 1720-1724 гг.), где его учителем был Иоганн Бернулли. В 1722 г. получил степень магистра искусств. В 1727 г. переехал в Санкт-Петербург, получив место адъюнкт-профессора в недавно основанной Академии наук и художеств. В 1730 г. стал профессором физики, в 1733 г. - профессором математики. За 14 лет своего первого пребывания в Петербурге Эйлер опубликовал более 50 работ. В 1741-1766 гг. работал в Берлинской академии наук под особым покровительством Фридриха II и написал множество сочинений, охватывающих по существу все разделы чистой и прикладной математики. В 1766 г. по приглашению Екатерины II Эйлер возвратился в Россию. Вскоре после прибытия в Санкт-Петербург полностью потерял зрение из-за катаракты, но благодаря великолепной памяти и способностям проводить вычисления в уме до конца жизни занимался научными исследованиями: за это время им было опубликовано около 400 работ, общее же их число превышает 850. Умер Эйлер в Санкт-Петербурге 18 сентября 1783 г.

Труды Эйлера свидетельствуют о необычайной разносторонности автора. Широко известен его трактат по небесной механике «Теория движения планет и комет». Автор книг по гидравлике, кораблестроению, артиллерии. Наибольшую известность принесли Эйлеру исследования в области чистой математики.

Приложение 3

Задачи

Задача 1 (задача о мостах Ленинграда). В одном из залов Дома занимательной науки в Санкт-Петербурге посетители показывали схему мостов города (рис.). Требовалось обойти все 17 мостов, соединяющих острова и берега Невы, на которых расположен Санкт-Петербург. Обойти надо так, чтобы каждый мост был пройден один раз.

И перерезавши кварталы,

Всплывают вдруг из темноты

Санкт-Петербургские каналы,

Санкт-Петербургские мосты!

(Н. Агнивцев)

Докажите, что требуемый уникурсальный обход всех мостов Санкт-Петербурга того времени возможен, но не может быть замкнутым, т. е. оканчиваться в пункте, от которого начинался.

Задача 2. На озере находится семь островов, которые соединены между собой так, как показано на рисунке . На какой остров должен доставить путешественников катер, чтобы они могли пройти по каждому мосту и только один раз? Почему нельзя доставить путешественников на остров A?¹⁷

Задача 3. (В поисках сокровищ).

На рис. изображен план подземелья, в одной из комнат которого скрыты богатства рыцаря. Чтобы безопасно проникнуть в эту комнату, надо, войти через определенные ворота в одну из крайних комнат подземелья, пройти последовательно через все 29 дверей, выключая сигнализацию тревоги. Проходить дважды через одни и те же двери нельзя. Определить номер комнаты в которой скрыты сокровища и ворота через которые нужно войти?²⁰

З

адача 4. Павлик -заядлый велосипедист - изобразил на классной доске часть плана местности и поселка (рис.8), где он жил прошлым летом. По рас­сказу Павлика, недалеко от поселка, расположившегося по берегам реки Оя, есть маленькое глубокое озерцо, питающееся подземными источника­ми. От него и берет начало Оя, ко­торая при входе поселок разде­ляется на две отдельные речушки, соединенные естественным каналом так, что образуется зеленый остро­вок (на рисунке отмечен буквой А) с пляжем и спортплощадкой. Далеко за поселком обе речушки, сли­ваясь, образуют широкую реку. Павлик утверждает, что, возвра­щаясь на велосипеде со спортивной площадки, находящейся на острове, домой (на рисунке буква D), он проезжает по одному разу по всем восьми мостикам, показанным на плане, ни разу не прерывая движе­ния. Наши знатоки теории таких головоломок отметили буквами А, В, С, D участки поселка, разъединен­ные речкой (участки - это узлы се­ти, мосты - ветви), и установили, что уникурсальный маршрут, начи­нающийся в А (нечетном узле), воз­можен, но закончиться он должен непременно в В - во втором нечет­ном узле, остальные два узла С и D - четные. Но ведь и Павлик го­ворит правду: его маршрут из А в D действительно пролегал по всем восьми мостикам и был уникурсальным. В чем же здесь дело? Как вы полагаете?

Задача 5. Английский математик Л.Кэрролл (автор всемирно известных книг «Алиса в стране чудес», «Алиса в Зазеркалье» и др.) любил задавать своим маленьким друзьям головоломку на обход фигуры (рис.9) единым росчерком пера и не проходя дважды ни одного участка контура. Пересечение линий допускалось. Такая задача решается просто.

Усложним ее дополнительным требованием: при каждом переходе через узел (считая узлами точки пересечения линий на рисунке) направление обхода должно изменяться на 90°. (Начиная обход с любого узла, придется сделать 23 поворота)⁶.

Задача 6. (Муха в банке) Муха забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли муха последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру. Подпрыгивать и перелетать с места на место не разрешается.²²

Задача 7. На рисунке изображена птица. Можно ли нарисовать ее одним росчерком?

Задача 8. На рис.10 пред­ставлен эскиз одного из портретов Эйлера. Художник воспроизвел его одним росчерком пера (только воло­сы нарисованы отдельно). Где на ри­сунке расположены начало и конец уникурсального контура? Повторите движение пера художника (волосы и пунктирные линии на рисунке не включаются в маршрут обхода)⁶.

Рис.10

З

адача 9. Начертить одним росчерком следующие фигуры. (Такие фигуры называются уникурсальными (от латинского unus - один, cursus -путь)).

Приложение 4

Решение задач

1

.

3. Для решения нужно построить граф, где вершины - номера комнат, а ребра - двери.

Нечетные вершины: 6, 18. Так как количество нечетных вершин = 2, то безопасно проникнуть в комнату с сокровищами можно.

Начать путь нужно через ворота В, а закончить в комнате № 18.

2. Друзья Павлика упустили одну деталь из его сообщения: вблизи поселка было небольшое озерцо - исток реки Оя. Хитрый Павлик «забыл» отметить его на плане. Добравшись из зоны А в зону В по уникурсальному маршруту, далее в зону D можно попасть не только по мостику, который уже один раз пройден, но и непосредственно - огибая озеро, что и делал Павлик. Учитывая это, «знатоки» теории должны были зоны, отмеченные ими буквами В и D, считать одним узлом.

5.Пример требуемого обхода дан на рисунке

6. Ребра и вершины куба образуют граф, все 8 вершин которого имеют кратность 3 и, следовательно, требуемый условием обход невозможен.

7. Взяв за вершины графа точки пересечения линии, получим 7 вершин, только две из которых имеют нечетную степень. Поэтому в этом графе существует эйлеров путь, а значит, его (т.е. птицу) можно нарисовать одним росчерком. Начать путь нужно в одной нечетной вершине, а закончить в другой.

8. Начать обход надо с нечетного узла в уголке правого глаза и закончить в нечетном узле брови над левым глазом (пунктирные линии в сеть не входят). Все остальные узлы на рисунке четные.

9.