Практическая работа по математике с методическими рекомендациями. Тема: Матрицы и действия с ними

Дисциплина - «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа №1

Тема: «Матрицы и действия с ними»

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с матрицами.

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

.

Для обозначения матрицы используют заглавные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы - строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись «матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов.

Например, матрица имеет размер 2x3. Далее, b_ij - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца данной матрицы (в примере b₂₃=5).

При ссылке на i-ю строку матрицы A используют обозначение A_i, при ссылке на j-й столбец - обозначение A_j.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера nxn называют матрицей n-го порядка. Элементы a₁₁ , a₂₂ ,…, a_nn квадратной матрицы A (размера nxn) образуют главную диагональ.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Например, - единичная матрица 4-го порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали треугольной. Например, среди квадратных матриц размера 3x3

, , ,

матрица A является верхней треугольной, B - диагональной, C - нижней треугольной, E - единичной.

Матрицы A, B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.

Действия над матрицами.

1. Сложение

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Чтобы найти сумму матриц A, B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

Пример 1. + =

2. Умножение на число

Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля действительное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Пример 2. Найти 2A-B, если , .

Решение. Сначала умножаем матрицу A на число 2, затем матрицу B на число -1, и, наконец, находим сумму полученных матриц:

3. Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы А_mxn=(a_ij) на матрицу В_nxp=(b_jk) называется матрица С_mxp=(c_ik) такая, что элемент i-ой строки и k-ого столбца произведения С равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы k-ого столбца матрицы В.

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведение АВ и ВА всегда существует.

Пример 3. Найти произведение матриц и .

Решение. Размер матрицы A 3x2, матрицы - В 2х2. Поэтому произведение АВ найти можно, произведение ВА - нет. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной. Обозначается A^T .

Так, если , то .

Если , то .

Пример 4. Найти АВ+С^Т , если

Решение. Воспользовавшись вычислениями примера 3, также правилами умножения матрицы на число и сложения матриц, получим:

АВ+С^Т =.

Практическая работа №1

Тема: «Матрицы и действия с ними»

Содержание практической работы

Вариант 1.

1. Найти сумму и разность матриц А и В, где

2. _{Найти С}^Т_{, где}

3. Найти матрицы:

а) 2А;

б) 8В^Т;

в) 2А+5В;

г) -3А-7,5В, где

4. Найти произведения матриц АВ и ВА, где

5. Найти А³ , где

6. Найти значение матричного многочлена 2А²+3А+5Е, где

7. Доказать равенство (AB)C=A(BC) для матриц:

1) , , ;

2) , , .

Дополнительные задания

8. Выполнить арифметические действия с матрицами:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

6);

7)

_{9. Доказать равенство для матриц (АВ)С=А(ВС)}

, , ;

10. Найти: 1) ; 2) ; 3) .

8