- Преподавателю
- Математика
- Конспект обобщающего урока по теме «Показательные уравнения и методы их решения с применением компьютерных технологий» (11 класс)
Конспект обобщающего урока по теме «Показательные уравнения и методы их решения с применением компьютерных технологий» (11 класс)
Раздел | Математика |
Класс | 11 класс |
Тип | Конспекты |
Автор | Купцова Т.Н. |
Дата | 05.10.2014 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
11 класс, обобщающий урок по теме «Показательные уравнения и методы их решения с применением компьютерных технологий».
Купцова Татьяна Николаевна - учитель математики,
зав. кафедрой математики гимназии №1584 г. Москвы.
Цель урока:
-
обобщение и систематизация знаний,
-
раскрытие связей и отношений в изучаемом материале,
-
учить применять знания при решении базовых и нестандартных задач.
Оборудование:
-
компьютер,
-
мультимедийный проектор,
-
экран,
-
Приложение 1 (слайдовая презентация в PowerPoint) «Методы решения показательных уравнений»
-
Приложение 2 (Решение уравнения типа «Три разных основания степеней» в Word)
-
Приложение 3 (раздаточный материал в Word для практической работы).
-
Приложение 4 (раздаточный материал в Word для домашнего задания).
Ход урока
Организационный этап.
-
сообщение темы урока (записана на доске),
-
необходимость проведения обобщающего урока в 10-11 классах:
-
в 10 классе - после прохождения темы с целью систематизации знаний;
-
в 11 классе - итоговое повторение с целью подготовки к ЕГЭ.
-
Этап подготовки учащихся к активному усвоению знаний.
Повторение.
Определение.
Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в
показателе степени (отвечает учащийся).
Замечание учителя. Показательные уравнения относятся к классу трансцендентных уравнений. Это труднопроизносимое название говорит о том, что такие уравнения, вообще говоря, не решаются в виде формул.
Их можно решать только приближенно численными методами на компьютерах. А как же быть с экзаменационными задачами? Вся хитрость состоит в том, что экзаменатор так составляет задачу, что она как раз допускает аналитическое решение. Иными словами, Вы можете (и должны!) проделать такие тождественные преобразования, которые сводят данное показательное уравнение к самому простому показательному уравнению. Это самое простое уравнение так и называется: простейшее показательное уравнение. Оно решается логарифмированием.
Ситуация с решением показательного уравнения напоминает путешествие по лабиринту, который специально придуман составителем задачи. Из этих весьма общих рассуждений следуют вполне конкретные рекомендации.
Для успешного решения показательных уравнений необходимо:
-
Не только активно знать все показательные тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать лишних корней, а тем более, - не терять решений уравнения.
-
Активно знать все показательные тождества.
-
Четко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования уравнений (переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, не забыв про смену знака, приводить к общему знаменателю дроби и тому подобное). Это называется математической культурой. При этом сами выкладки должны делаться автоматически руками, а голова должна думать об общей путеводной нити решения. Делать преобразования надо как можно тщательней и подробней. Только это даст гарантию верного безошибочного решения. И помнить: небольшая арифметическая ошибка может просто создать трансцендентное уравнение, которое в принципе не решается аналитически. Выходит, Вы сбились с пути и уперлись в стенку лабиринта.
4. Знать методы решения задач (то есть знать все пути прохода по лабиринту решения). Для правильного ориентирования на каждом этапе Вам придется (сознательно или интуитивно!):
-
определить тип уравнения;
-
вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.
Этап обобщения и систематизации изученного материала.
Учителем совместно с учащимися с привлечением компьютера проводится обзорное повторение всех видов показательных уравнений и методов их решения, составляется общая схема. (Используется обучающая компьютерная программа Л.Я. Боревского "Курс математики - 2000", автор презентации в PowerPoint - Т.Н. Купцова .)
Приложение 1.
Рис.1. На рисунке представлена общая схема всех типов показательных уравнений.
Как видно из этой схемы стратегия решения показательных уравнений состоит в том, чтобы привести данное показательное уравнение к уравнению, прежде всего, с одинаковыми основаниями степеней, а затем - и с одинаковыми показателями степеней.
Получив уравнение с одинаковыми основаниями и показателями степеней, Вы заменяете эту степень на новую переменную и получаете простое алгебраическое уравнение (обычно, дробно-рациональное или квадратное) относительно этой новой переменной.
Решив это уравнение и сделав обратную замену, Вы в результате приходите к совокупности простейших показательных уравнений, которые решаются в общем виде с помощью логарифмирования.
Особняком стоят уравнения, в которых встречаются лишь произведения (частные) степеней. Воспользовавшись показательными тождествами, удается эти уравнения привести сразу к одному основанию, в частности, - к простейшему показательному уравнению.
Рассмотрим, как решается показательное уравнение с тремя разными основаниями степеней.
(Если у учителя есть обучающая компьютерная программа Л.Я. Боревского "Курс математики - 2000" , то естественно работаем с диском, если нет - можно на каждую парту сделать распечатку такого типа уравнения из нее, представленную ниже.)
Приложение 2
Рис.2. План решения уравнения.
Рис.3 Начало решения уравнения
Рис.4 Окончание решения уравнения.
Выполнение практической работы.
Приложение 3 (раздаточный материал в Word для практической работы).
Задание: из списка уравнений выбрать уравнения указанного типа (№ ответа занести в таблицу) и решить их (ответ занести в таблицу):
-
Три разных основания степеней
-
Два разных основания - разные показатели степени
-
Основания степеней - степени одного числа
-
Одинаковые основания - разные показатели степеней
-
Одинаковые основания степеней - одинаковые
показатели степеней
-
Произведение степеней
-
Два разных основания степеней - одинаковые показатели
-
Простейшие показательные уравнения
-
-
-
-
(
-
-
Фамилия
№ шага
A
B
C
D
E
F
G
H
№ соотв.типа уравнения
ответ
Выполняется попарная взаимопроверка с выставлением оценок.
Нормы оценок:
"5" - 100%
"4" - 1 ош. - 88%
2 ош. - 75%
"3" - 3 ош. - 63%
"2" - 4 ош. - 50%.
Решение нестандартного показательного уравнения.
А теперь решим с вами одно из нестандартных показательных уравнений, которые необходимо научиться решать при подготовке к ЕГЭ (задание уровня С).
№218* (См. А.В. Столин. Комплексные упражнения по математике с решениями, 7-11 классы. Харьков, ИМП «Рубикон», 1995)
Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
Этап информации о домашнем задании
Домашнее задание.
Приложение 4
Определить тип уравнения и решить его.
-
-
-
0,125
5.
6.
Подведение итогов урока.
Выставление оценок за урок.
Окончание урока.
Для учителя.
Схема ответов практической работы.
Задание: из списка уравнений выбрать уравнения указанного типа (№ ответа занести в таблицу):
-
Три разных основания степеней
-
Два разных основания - разные показатели степени
-
Основания степеней - степени одного числа
-
Одинаковые основания - разные показатели степеней
-
Одинаковые основания степеней - одинаковые показатели степеней
-
Произведение степеней
-
Два разных основания степеней - одинаковые показатели
-
Простейшие показательные уравнения
1. (произведение степеней)
2. (одинаковые основания - разные показатели степеней)
3. (три разных основания степеней)
4. (два разных основания степеней - одинаковые показатели)
5. (одинаковые основания - одинаковые показатели степеней)
6. ( (простейшее показательное уравнение)
7. (два разных основания - разные показатели степени)
8. (основания степеней - степени одного числа)
№ шага
A
B
C
D
E
F
G
H
№ соотв.типа уравнения
3
7
8
2
5
1
4
6
ответ
-2; 4
-1
-0,5; 0,5
; 0
-1
0; 2
Домашнее задание.
-
(три разных основания степеней) Отв.
-
(два разных основания - разные показатели степени)
Отв. х=1,5
-
0,125 (произведение степеней) Отв. х=6
-
(одинаковые основания - разные
показатели степеней) Отв. х=1
-
(основания степеней - степени одного числа)
Отв.
В зависимости от уровня подготовленности класса и, соответственно, темпа урока в оставшееся время можно познакомить учащихся с обучающей компьютерной с программой Л.Я. Боревского "Курс математики - 2000" и с её помощью рассмотреть решение показательного уравнения № 8.41. (Учитель проводит беседу с привлечением компьютера и разбор уравнения типа "Три разных основания степеней".)